完全立方差公式是代数中的一个重要公式，它用于展开形式为 \( (a – b)^3 \) 的表达式。这个公式可以表示为：
\[ (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \]
为了深入理解这个公式的构造与求解，我们可以从基本的代数原理出发，逐步推导出这个公式。
首先，我们知道 \( (a – b)^3 \) 可以表示为 \( (a – b)(a – b)(a – b) \)。我们可以通过逐步展开这个表达式来得到结果。
第一步，我们先计算 \( (a – b)(a – b) \)：
\[ (a – b)(a – b) = a^2 – 2ab + b^2 \]
接下来，我们将这个结果再乘以 \( (a – b) \)：
\[ (a^2 – 2ab + b^2)(a – b) \]
我们可以通过分配律来展开这个表达式：
\[ a^2(a – b) – 2ab(a – b) + b^2(a – b) \]
这可以进一步展开为：
\[ a^3 – a^2b – 2a^2b + 2ab^2 + b^3 – b^2b \]
将相似项合并，我们得到：
\[ a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \]
这就是我们需要的完全立方差公式。通过这个公式，我们可以快速展开形式为 \( (a – b)^3 \) 的表达式，而不需要每次都从头开始计算。
总结来说，完全立方差公式 \( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \) 的构造可以通过逐步展开和合并项来推导。理解这个公式的构造不仅有助于我们快速求解相关表达式，还能加深我们对代数运算的理解。