字典或词典里对“拓扑学（topology）”的解释是研究不受形状或大小变化影响的几何图形或固体物体性质的科学。本文将从简单的例子出发，努力将“拓扑”这个概念解释清楚。
一、简单的例子
我们通过两个简单的例子来说明“不受形状或大小变化影响的几何图形性质”。
例1：平面上三角形的内角和。在平面上的任何三角形，不论其形状、大小如何变化，其内角和总是180度。这是拓扑性质的一个例子，说明某些性质与图形的形状和大小无关。
例2：能否一笔画出图形。图1中的八个平面图形，通过尝试可以知道，“日”和“中”可以一笔画出，而“田”和“目”则不能。能否一笔画出一个图形与图形的形状和大小无关，而与线段的数目以及它们之间的连接关系有关，这也是拓扑性质。
二、拓扑性质与拓扑变换
图1下面的图形是上面的图形的变形，这些变形之后的图形，其拓扑性质（能否一笔画出）没有发生变化。这种在保持某些性质不变的变换被称为拓扑变换。在数学上，这样的变换需要满足一定的条件，称为同胚映射。
三、三个著名问题
接下来，我们介绍三个著名的问题，它们在拓扑学的发展中非常重要。
1. 七桥问题：见上图4，有一个大河和两个岛屿，大岛有4座桥与相连，小岛有2座桥与相连，两岛之间还有一座桥相连。问题是能否不重复、不遗漏地一次走完所有的桥。这个问题被欧拉转化为一个几何图形问题并给出了答案。
2. Euler定理：对于凸多面体，其顶点数、棱边数和面数之间存在特定的关系。同样地，球面上一个连通的图的节点数、枝数和它分隔球面形成的面块数也满足特定的公式。这些定理揭示了图形的一些固有属性，与形状和大小无关。
3. 四色问题：每个地图上的都可以只用四种颜色来区分相邻的。这是一个世界著名的数学问题，其解决过程涉及到复杂的拓扑学知识。
四、连续、度量空间、开集和拓扑空间
在拓扑变换中，“连续”是一个重要的概念。在度量空间中，连续映射要求保持点的邻近性质不变。而在拓扑空间中，可以利用开集的性质直接定义连续性，而不需要利用距离的概念。开集是拓扑空间的重要组成部分，它的定义不依赖于距离。通过开集的性质可以直接定义拓扑空间。
五、高斯-博内定理
高斯-博内定理是关于曲面曲率的积分和拓扑之间联系的重要表述。该定理涉及到二维黎曼流形的高斯曲率、边界的测地曲率以及欧拉示性数等概念。通过高斯-博内定理，可以揭示不同拓扑形状的曲面之间的内在联系。
拓扑学是研究几何图形或固体物体在不受形状和大小变化影响下的性质的科学。通过简单的例子和深入的理论，我们可以理解拓扑学的概念和应用。
