随着人工智能逐步融入数学研究的进程中，其几大核心应用路径逐渐清晰。首先是基于语言模型（如ChatGPT）的“协作型数学”方式。在这种模式下，数学家可以借助AI的力量提出猜想、辅助证明，甚至回溯性地发现尚未被注意到的工具。例如，陶哲轩等顶尖数学家已经开始尝试使用这类AI工具，它们不仅能够帮助快速检索知识，还能激发新的证路。
值得一提的是，这里所展示的图片也是由人工智能生成的。
第三类应用则源于形式化证明工具的演变，例如Lean等自动证明器。这些系统注重逻辑语法的严密性，构建了庞大的代码库。虽然它们最初并非依赖AI技术，但随着复杂性的增加，未来也势必会与大语言模型深度融合。
在经典的分类法中，数学家被分为“飞鸟型”与“刺猬型”。前者善于远瞩，关注宏观结构；后者则擅长深耕细作，执着于细节。人工智能技术恰好可以服务于这两种类型的研究者——既能够从大量文献中抽取出结构脉络，也能够协助完成技术细节的繁琐验证。
在最近的“AI与数学”会议上，一位数论学者分享了一个典型的案例。在撰写涉及复杂引理的论文时，她借助ChatGPT-4.0的推理能力，从已有的证明中提取结构，并让AI生成类似的证路。在她手动检查和微调之后，AI给出的证明几乎完全正确，极大地提高了工作效率。这并不是完全的自动证明，而是AI作为人类推理的助力器出现的表现，尤其在繁琐的技术推导中更显效率优势。
人工智能的这种拓展能力让人回想起上世纪90年代计算机对数学研究的第一次结构性影响。当时，如Wolfram Mathematica、SageMath等计算系统的出现，让大多数数学家摆脱了繁琐的积分和代数化简。如今，再没有人手工计算sin(17x)的不定积分，而是直接调用数学软件。未来，人工智能可能会接管更进一步的职责——不仅仅是简单的函数计算，而是处理整个证明过程中的基础推理。这并不是说教育应该放弃这些训练内容，而是研究实践的方式将发生本质变化。
值得注意的是，传统数学研究一直是“实践先行、定义随后”。例如，在牛顿发明微积分时，他对极限和收敛并没有严格的定义，只是凭借直觉描述物体运动。而在19世纪后，数学家们才用-语言进行形式化。这种情况也出现在代数几何的发展过程中。
在“未定结构的探索”阶段，人工智能所能提供的帮助曾广泛受到怀疑。毕竟，语言模型依赖于已有的文本，而真正的“新发现”往往没有明确的定义和训练语料。但最新的尝试表明，即使在最人类化、最模糊的直觉阶段，人工智能也开始展现出其助力潜能。虽然我们现在还没有专门为数学研究训练的大型模型，但这一天即将到来。一旦出现这种情况，人工智能或许不仅是数学研究的工具，更将成为共创者。
