当你面对一个数列或函数，想要判断它是发散还是收敛时，可以尝试以下几个实用方法：
首先，观察数列或函数的极限。如果数列的极限存在且为有限值，那么它是收敛的；如果极限不存在或为无穷大，那么它是发散的。例如，对于数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，当 \(n\) 趋向于无穷大时，\(a_n\) 趋向于 0，因此这个数列是收敛的。
其次，利用比值测试。对于正项数列 \(a_n\)，如果 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\)，当 \(L 1\) 时，数列发散；当 \(L = 1\) 时，测试不确定。例如，对于数列 \(a_n = 2^n\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2\)，因此数列发散。
再者，使用根值测试。对于正项数列 \(a_n\)，如果 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\)，当 \(L 1\) 时，数列发散；当 \(L = 1\) 时，测试不确定。例如，对于数列 \(a_n = \left(\frac{3}{2}\right)^n\)，\(\sqrt[n]{a_n} = \frac{3}{2}\)，因此数列发散。
最后，考虑比较测试。如果数列 \(a_n\) 可以与另一个已知收敛或发散的数列 \(b_n\) 进行比较，那么可以通过比较它们的大小关系来判断 \(a_n\) 的收敛性。例如，对于数列 \(a_n = \frac{1}{n^2}\)，可以与 \(b_n = \frac{1}{n}\) 比较，因为 \(b_n\) 发散，而 \(a_n\) 收敛。
通过这些方法，你可以更准确地判断数列或函数的收敛性。