计算e的神奇公式，即 \( e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)，揭示了一个非常有趣的现象，尤其是在处理1∞型极限时。这种极限形式通常让人感到困惑，因为直接计算会得到不确定的形式1∞。然而，通过巧妙的方法，我们可以揭开其奥秘。
首先，我们需要理解1∞型极限的本质。这种极限可以通过取自然对数来简化。具体来说，设 \( L = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)，我们取对数得到 \( \ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) \)。接下来，我们可以利用洛必达法则来处理这个极限，因为直接计算会得到 \(\frac{0}{0}\)型不确定形式。
应用洛必达法则，我们需要计算导数：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x}
\]
通过洛必达法则，我们得到：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = 1
\]
因此， \( \ln L = 1 \)，即 \( L = e \)。
这个结果表明，1∞型极限可以通过转换和对数技巧来简化。通过取对数和使用洛必达法则，我们可以将不确定形式转化为确定形式，从而揭示其内在的奥秘。这种方法的巧妙之处在于，它将复杂的问题转化为更易处理的形式，展示了数学中的深刻思想和方法。