昨天我们认识了等差数列这个“规矩的朋友”，今天我们来学习如何快速计算它前面多项的和以及它的一些有趣特性。
知识点一：等差数列的性质（下标关系）
在等差数列中，项的位置（下标）之间存在特定的平衡关系。通俗解释是，如果两对项的下标之和相等，那么这两对项的值之和也相等。举个例子，想象一排按等差高度排列的蜡烛，第3根和第10根的总高度等于第5根和第8根的总高度。
知识点二：等差数列的前n项和公式（首尾求和）
想要计算等差数列前n个数的和（记作Sn）？有一个聪明的方法，就像高斯小时候算1+2+…+100一样，把第一个和最后一个配对，第二个和倒数第二个配对，它们的和都一样。公式为：Sn = n(a1 + an) / 2。
知识点三：等差数列的前n项和公式（首项公差）
如果不知道最后一项an，只知道首项a1和公差d，怎么办？没关系，把通项公式an = a1 + (n-1)d代入刚才的和公式，就能得到一个只用a1, d, n来表示的新和公式。公式为：Sn = na1 + n(n – 1)d / 2。
知识点四：Sn的性质与图像
如果把等差数列的前n项和Sn看作是关于项数n的函数，它会呈现出一个二次函数的形态（或者一次函数，如果d=0）。特别的是，这个二次函数没有常数项。换句话说，Sn = (d/2)n + (a1 – d/2)n。这是一个关于n的二次函数Sn = An + Bn的形式，其中A=d/2，B=a1 – d/2。反之，如果一个数列的前n项和Sn可以表示为Sn = An + Bn（A，B为常数），那么这个数列一定是等差数列。它的图像是抛物线y = Ax + Bx上的一系列孤立的点（n，Sn）。
知识点五：an与Sn的关系
如果你知道一个数列前n项的和Sn是怎么算的，怎么反过来求出它的每一项an呢？很简单：第n项an就是前n项的总和Sn减去前n-1项的总和S（n-1）。第一项a1就等于前1项的和S1。公式为：对于任意数列{an}，其前n项和为Sn，则有a1 = S1，an = Sn – S（n-1）（当n ≥ 2）。这个关系对所有数列都成立，不仅限于等差数列。已知数列的前n项和Sn的通项公式，通过an = Sn – S（n-1）可以求出该数列的通项公式an。需要注意的是在计算an时要分n=1和n≥2两种情况讨论。最后看n=1是否符合n≥2的表达式来决定是否能合并成一个通项公式。例如已知等差数列的前n项和Sn的公式为Sn = n + n我们可以分别计算得出当n=1时的a₁以及当n≥2时的an最终得到该数列的通项公式an = 2n （n ≥ 1）。 接下来我们来进行一些练习题巩固知识。练习题如下： 高中数学题库中找寻关于等差数列的练习题目并进行练习来检验学习成果巩固和提升数学知识。请合理有效完成练习题以达到学习的目的并努力学好高中数学这门课程提升自己的数学能力！
