已知：在平行四边形ABCD中，O为中心点，DF⊥AC于F，CE⊥BD于E，EF交AB于G。求证GO⊥AD。
分析思路：首先我们可以知道CDEF共圆，圆心为CD的中点J。要证明GO⊥AD，我们只需要证明GO⊥JO，这可以利用蝴蝶定理的逆定理来证明。通过延长GO交DC于K，可以证明OG=OK。
证明过程：设GO交CD于K，由于对称性我们知道OG=OK。设J为CD的中点，由于DF和CE的垂直性，我们知道CDEF共圆，且圆心为BC的中点J。根据蝴蝶定理的逆定理，我们可以知道JO⊥OG。由于OJ是AD的中位线，所以我们可以得出GO⊥AD。
已知：在△ABC中，D为BC的中点，以AD为直径的圆交AB、AC于E、F，圆的切线在E、F处相交于G。求证GD⊥BC。
分析思路一：我们可以利用蝴蝶定理的思路，过G作两边的垂线，利用垂直得到共圆和倒角得到相似。为了利用垂直，我们可以采用同一法来证明。
证明过程一：根据图形的特性，我们证明其逆命题，即由GD⊥BC来证明BD=CD。设GH⊥AB于H，GI⊥AC于I。由切线的性质我们知道∠HEG=∠EDA，∠IFG=∠FDA。由于GE=GF，我们可以得到HF:ED=GE:AD=GF:AD=IF:DF。∠EDH=∠FDI。由于垂直关系，我们知道BHDG和GICD共圆。又由于GH//DE和GI//DF，我们可以得到∠DBG=∠GHD=∠HDE=∠FDI=∠DIG=∠DCG。因此GB=GC和DB=DC，证明完毕。
分析思路二：注意到平分和垂直的关系类似于蝴蝶定理的应用。E、F在以G为圆心的圆上，由切线的性质可以得到IGJ共线的关系。再利用垂直关系得到直径与共圆的性质，最后利用蝴蝶定理的逆定理来证明。
证明过程二：显然GE=GF。设以G为圆心GE为半径的圆交射线AB、AC于I、J。由于GE是圆的切线，我们知道∠EIG=∠IEG=∠AFE=∠EIJ。因此IGJ共线。又因为∠AED=90°，我们知道E、D、J三点共线。同理F、D、I三点也共线。由于DB=DC和蝴蝶定理的逆定理我们可以知道GD⊥BC。注：第一个证明相当于证明了本题的逆命题，通过构造一个新的图形来完成证明；第二个证明则更注重利用蝴蝶定理的性质来完成证明过程。这两种方法都体现了对于几何图形的深入理解以及对于知识的灵活应用。此外还有许多其他的解法对于这个问题也有很好的解决效果例如正弦定理或分角定理等都可以作为解题工具进行使用这个问题非常经典解法也很巧妙值得深入研究和探讨同时这个问题也体现了数学中的美和魅力以及解题的乐趣和成就感希望你在学习的过程中能够找到属于自己的乐趣和挑战同时也欢迎继续向我提问一起探讨更多的数学问题
