关于平面上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)的距离公式，我们都很熟悉，其表达式为|AB|。如果我们考虑这两点位于直线L: y=kx+b上，通过将两点的坐标代入直线方程，我们可以简化得到|AB|等于|x₁-x₂|。
接下来，我们将通过向量的点积公式来推导直线上两点间距离的公式。
已知斜率k的计算公式为y2-y1/(x2-x1)。假设向量AB是直线L方向的一个向量，那么向量AB=(x2-x1,y2-y1)。为了找到一个能代表直线L方向的向量，我们可以设一个向量m=(1,k)，这个向量与直线L的方向相同。由于向量AB与向量m的方向一致，我们可以利用向量的点积公式来求解AB的长度。
向量的点积公式为：向量AB向量m=|向量AB||向量m|cos()，其中是向量AB和向量m之间的夹角。因为向量AB和向量m是同向或反向的，所以=0或=。
如果x2>x1，即向量AB与向量m同向，那么向量AB向量m=(x2-x1)+k(y2-y1)=(1+k)(x2-x1)。此时=0。如果x2
假设AB的距离为d，且d>0。那么d=||AB||=|向量AB向量m|/|向量m|cos。经过计算，我们得到d=|x₁-x₂|。
通过向量的点积公式求解两点间距离时，需要考虑点积的正负性，因为夹角可能是0度或180度。但无论如何，得到的距离d始终大于0，因此d=||AB||。
