判别式法是求函数值域的一种非常高效且直观的方法，尤其适用于涉及二次函数、绝对值函数或可转化为这类形式的函数。下面是如何使用判别式法求函数值域的步骤：
1. 将函数转化为关于某个变量的二次方程：通常，我们会选择将函数中的某个变量（比如 \( x \)）作为自变量，其余部分作为常数。例如，对于函数 \( y = \sqrt{ax^2 + bx + c} \)，我们考虑方程 \( ax^2 + bx + (c – y^2) = 0 \)。
2. 确保方程有实数解：对于二次方程 \( Ax^2 + Bx + C = 0 \)，其有实数解的条件是判别式 \( \Delta = B^2 – 4AC \geq 0 \)。在我们的例子中，判别式应为 \( b^2 – 4a(c – y^2) \geq 0 \)。
3. 解判别式不等式：解出 \( y \) 的取值范围。这个范围就是函数的值域。例如，解 \( b^2 – 4a(c – y^2) \geq 0 \) 可得 \( y^2 \) 的范围，再根据平方根的性质取正负值，得到 \( y \) 的值域。
例子
求函数 \( y = \sqrt{-x^2 + 4x – 3} \) 的值域。
1. 转化为二次方程：
\[
-x^2 + 4x – 3 + y^2 = 0 \implies x^2 – 4x + (3 – y^2) = 0
\]
2. 确保方程有实数解：
\[
\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (3 – y^2) \geq 0 \implies 16 – 4(3 – y^2) \geq 0
\]
3. 解判别式不等式：
\[
16 – 12 + 4y^2 \geq 0 \implies 4 + 4y^2 \geq 0 \implies y^2 \geq -1
\]
由于 \( y^2 \) 始终非负，所以不等式总是成立。但我们需要考虑 \( y \) 的实际取值范围：
\[
y^2 \leq 4 \implies -2 \leq y \leq 2
\]
但由于平方根函数的性质，\( y \geq 0 \)，所以最终值域为：
\[
0 \leq y \leq 2
\]
通过这种方法，我们可以快速找到函数的最值范围，非常简单高效！