在数学中，判别式（Discriminant）是一个非常重要的概念，尤其在解决二次方程时。判别式的定义是 \( \Delta = b^2 – 4ac \)，其中 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的系数。判别式的值可以告诉我们方程的根的性质。
根据判别式的值，我们可以判断二次方程的根的情况：
1. 如果 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实数根。
2. 如果 \( \Delta = 0 \)，方程有一个重根（即两个相同的实数根）。
3. 如果 \( \Delta < 0 \)，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
在定义域的问题中，判别式必须是非负的，即 \( \Delta \geq 0 \)，才能保证方程有实数根。这是因为实数根是我们在实数范围内求解方程的主要目标。如果判别式是负数，那么方程就没有实数根，这意味着在实数范围内无法找到满足方程的解。
因此，为了保证判别式能够有效地使用，定义域必须是实数集 \( \mathbb{R} \)。只有在实数集 \( \mathbb{R} \) 中，判别式的值才有意义，并且能够正确地反映方程的根的性质。如果定义域不是实数集，比如是复数集或其他数值集合，判别式的定义和用途可能会变得复杂，甚至无法使用。因此，在大多数情况下，当我们谈论判别式时，我们默认定义域是实数集 \( \mathbb{R} \)。