向量的坐标运算公式是理解和掌握向量性质的关键工具。向量通常用其在直角坐标系中的坐标来表示，例如向量a可以表示为a = (a1, a2, a3)，其中a1, a2, a3分别是向量在x, y, z轴上的分量。
向量的加法和减法运算非常直观。若向量b = (b1, b2, b3)，则向量a与b的和a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)，差a – b = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3)。这种分量对应相加减的规则，使得向量运算变得简单而直接。
向量的数量积（点积）运算则涉及到向量的模长和它们夹角的余弦值。向量a与b的数量积定义为a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3。这个结果是一个标量，反映了两个向量的方向相似程度和大小影响。特别地，当a · b = 0时，说明两个向量垂直。
向量的向量积（叉积）运算只适用于三维空间。向量a与b的向量积c = a × b的结果是一个新的向量，其方向垂直于由a和b确定的平面，大小等于a和b构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则。其坐标表达式为c = (a2 b3 – a3 b2, a3 b1 – a1 b3, a1 b2 – a2 b1)。
向量的模长（长度）可以通过坐标计算得出，公式为|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。模长表示向量的大小，是向量重要属性之一。
通过这些坐标运算公式，我们可以轻松地进行向量加、减、乘（点积和叉积）等基本运算，进而深入理解向量的几何意义和物理应用，如力、速度、加速度等矢量在物理学中的表现。掌握这些公式，就如同掌握了开启向量奥秘之门的钥匙，让我们能够更加深入地探索向量世界的丰富内涵。