编者注：视角转换，理解矩阵的新途径。
在学习数学的道路上，我们常常会遇到知识的难度和抽象性带来的挑战。但有时候，只需换一种思考的角度，就能豁然开朗。就像学习(a+b)²的公式时，从几何角度理解，一切就变得直观起来。现在，矩阵也给我们带来了类似的恍然大悟之感。
非负矩阵与有向图之间存在一种奇妙的等价性。简单来说，矩阵可以转换为对应的有向图，并且这种转换对矩阵和图论都有很大的帮助。这一发现来自致力于让数学变得容易理解的数学家Tivadar Danka。
例如，一个3×3的矩阵可以转换为一个包含三个节点的有向图。每一行都可以看作一个节点，每个元素对应一条有向且加权的边。0元素则可以忽略。如果元素位于第i行第j列，那么它对应的就是从节点i到节点j的边。
乍看之下，这似乎很复杂，但如果我们关注一个节点，情况会简单很多。例如，在上面的3×3矩阵中，第1行对应于最顶部的节点（我们称之为1号节点）。它包含三个元素，其中一个为0，因此这个节点延伸出了两条边。其中边表示的是(1,1)处的元素0.5，因此它是指向自身且权重为0.5的有向边。同理，蓝色边是指向2号节点且权重为1的边。
通过这种转换，我们可以发现矩阵的第i列对应于所有指向i号节点的边。这种转换不仅可以帮助我们更好地理解矩阵及其运算，还可以简化一些计算过程。反过来，这也让我们可以从新的角度理解图。例如，矩阵的幂对应于图中的游走。对于n×n的方形矩阵A的k次幂，每个元素的计算都涉及所有可能的k步游走。
这种等价性还有其他实际应用。例如，如果这种有向图表示的是马尔科夫链的状态转移概率矩阵，那么其平方就代表了该链两步后达到某个状态的概率。用图表示矩阵还能让我们深入了解非负矩阵的结构。为此，我们需要了解强连通分量这一概念。强连通分量是有向图中能够实现强连通的部分或子图。而对应于强连通图的矩阵是不可约矩阵。
那么，我们能将任意非负矩阵转换成弗罗贝尼乌斯标准形矩阵吗？答案是肯定的。通过使用有向图来表示非负矩阵，我们可以轻松地找到答案。过程包括构建对应的有向图，找到其中的强连通分量，然后重新标注各个节点。这种重新标注的过程实际上是用一个置换矩阵P对原矩阵进行变换。这种思路催生了谱图理论这一研究领域。
