好的，我们来详细解读一下如何通过三阶行列式来求解其对应的逆矩阵。这通常涉及到几个关键步骤，核心在于利用行列式和伴随矩阵。
首先，一个三阶矩阵 A 的逆矩阵 A⁻¹（如果存在的话）可以通过以下公式计算：
A⁻¹ = (1 / det(A)) adj(A)
其中，det(A) 是矩阵 A 的行列式，adj(A) 是矩阵 A 的伴随矩阵。
计算 det(A) 是基础。对于一个 3×3 矩阵 A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]，其行列式 det(A) 按照对角线法则（萨吕法则）计算为：
det(A) = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)
计算伴随矩阵 adj(A) 是另一个关键步骤。伴随矩阵是由 A 的所有代数余子式组成的矩阵的转置。对于三阶矩阵，这意味着我们需要为 A 的每一个元素计算其对应的 2×2 余子式，取适当的符号（正负号遵循特定模式），然后形成一个新的 3×3 矩阵，最后将这个矩阵转置得到伴随矩阵 adj(A)。
具体来说，元素 Aᵢⱼ 的代数余子式 Cᵢⱼ 是去掉 A 的第 i 行和第 j 列后，剩下的 2×2 子矩阵的行列式，再乘以 (-1)^(i+j)。例如，元素 a 的代数余子式 C₁₁ = (ei – fh) (-1)^(1+1) = ei – fh。
一旦我们有了 det(A) 和 adj(A)，逆矩阵 A⁻¹ 就可以通过上述公式计算出来：将 det(A) 的值求倒数，然后乘以伴随矩阵 adj(A)。请注意，只有当 det(A) ≠ 0 时，矩阵 A 才有逆矩阵。如果 det(A) = 0，则矩阵 A 是奇异的，没有逆矩阵。