孪生素数是指相差为2的一对素数，例如(3,5)、(5,7)等。现在我们来探讨如何计算小于某个自然数M的孪生素数对数。
(一)本文的计算方法基于孪生素数猜想证明中的以下几条核心结论：
a、任何大于1的奇数都可以表示为2n±1的形式，其中n为该奇数的“核”。如果两个奇数具有相同的核，则它们被称为“同核奇数”，n即为它们的共同核。
b、同核奇数只存在三种可能的状态：1、同核的两个奇数都是合数；2、同核奇数中一个是合数、另一个是素数；3、同核的两个奇数都是素数，这种情况下它们就是孪生素数。
c、根据上述结论2，我们可以得出：所有非孪生素数的素数（即单体素数）的核一定存在于对应的合数核中。进一步推论：只要去除所有的合数核，那么包含在合数核中的单体素数核也会被同时去除。
d、由结论c可以推出：孪生素数的核一定存在于所有合数核以外的非零自然数集合N*中，并且N*中存在无穷多个孪生素数核。逻辑如下：任何大于1的奇数只可能是合数、单体素数或孪生素数，因此奇数核也只可能是这三种类型；非零自然数集合N*(1,∞)中每个数都可以成为奇数核，全部自然数N*不可能都是合数核，所以去除合数核后，剩下的都是孪生素数核（因为单体素数的核在去除合数核时也被去除）。每个核对应一对孪生素数。
e、通过分析完美等差数列群，我们可以得出所有素数最终形式为6n±1，孪生素数自然也包含在内。6n±1去掉1后除以2得出核为3n，即所有孪生素数核一定存在于3n中。
(二)给定一个自然数M，如何计算小于M的孪生素数对数呢？
例子：自然数111，小于111的孪生素数有多少对？
1、111中有多少奇数核？n=(111-1)/2=55个。为了直观理解，可以验证n=1、2、3、……55，则奇数为3、5、7、……111。
2、我们知道所有非零自然数N*都可以成为奇数核，而全部自然数N实际上由三列完美等差数列群组成：3n、3n+1、3n+2(n∈N)。分别研究这三列等差数列的性质，可以得出：3n+1和3n+2这两列无穷等差数列的每个值都是合数核的值（参考以前发表的孪生素数猜想证明的文章）。因此，只需研究3n(n∈N*)这一列等差数列，如果能找出3n列中的所有合数核，剩下的必然是孪生素数核，每个核对应一对孪生素数。
3、3n中肯定不存在3n+1和3n+2的值，但存在其他形式的合数核。3n=5d+2，n=(5d+2)/3，n有整数解必须d=3t+2，得n=5t+4（t∈N，即t可以为0）；在限定的55个奇数核范围内，3n最多只有18个奇数核，即n=18。可见n=5t+4=18，t=2，即t=1时n取值在18之内，t=2时n取值也在18之内，考虑还有t=0也符合要求，所以在5t+4中有2+1共3个合数核。这三个合数核分别是5t+4中t=0、1、2，此时3n合数核中的n为4、9、14。同理，3n=5d+3，当d=3t时n有整数解，得n=5t+1（t∈N*，即t≠0），n=5t+1=18，t=3，共三个合数核。这三个3n合数核的n分别是6、11、16。问题到此并没有结束，因为3n中还有其他形式的合数核（具体情况请参考以前已证明并发表的文章）。3n=7d+3，n有整数解则d=3t，则n=7t+1（t∈N*）。7t+1=18则d=2，即3n中7d+3形态的合数核共有2个，它们3n合数核中的n分别为8、15。同理3n=7d+4，必须d=3t+2（t∈N，即t可以为零），即n=7t+6=18，d=1，加上d=0时也在取值范围内，所以3n合数核中的n共有2个，即6、13。
4、现在共得到3n为合数核的n值共4组：4、9、14；6、11、16；8、15；6、13。其中不难发现出现两个6，需要舍弃一个，这是在计算5d+3和7d+4时形态合数核时重复计算了一个，必须舍弃。这样最后3n中成为合数核的n就剩下9个：4、9、14、6、11、16、8、15、13。它们的3n合数核为：12、27、42、18、33、48、24、45、39。
5、最后我们得到在111这个自然数内共有55个奇数核，但3n中n值最多只有18个（55/3=18），而这18个中有9个是合数核，所以剩下的就是18-9=9，这9就是孪生素数的对数，即不大于111这个数内存在9对孪生素数。再详细看一看具体数字：
111这个数，它的55个奇数核内存在18个3n值为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54。其中：12、27、42、18、33、48、24、45、39共9个合数核，这9个合数为：25、55、85、35、65、95、49、51、77。
剩下的9个为孪生素数核：3、6、9、15、21、30、36、51、54。这9对孪生素数为：5、7；11、13；17、19；29、31；41、43；59、61；71、73；101、103；107、109。
(三)、从上例可以看出解题思路很简单，从1到∞所有正整数N*都是奇数核，3n+1、3n+2所有n值代入后全部是合数核，唯一要做的是从3n这个数列中找出内藏的合数核，在M这个数确定的范围内把3n奇数核中的所有合数核找出来，剩下的就是孪生素数的核。
1、给定自然数M，算出M内的奇数核c，c=(M-1)/2（M为奇数）或c=M/2（M为偶数）。
2、在3N中算出容纳奇数核个数：N=c/3。（防止与下述n混淆，3n换成3N）。
3、找出在3N中可能存在合数核的各个形态：下面是2n+1形态的合数核
(5n+2)、(7n+3)、(11n+5)、(13n+6)、(17n+8)、(19n+9)、(23n+11)、(29n+14)、(31n+15)、(37n+13)、……[Pi×n+(Pi-1)/2]（Pi中的i为序数下标，P为素数；n∈N*）
用3N分别与上述每个小括号表达式相等，算出3N中每个合数核数量N表达式，他们是：N=
(5t+4)、(7t+1)、(11t+9)、(13t+2)、(17t+14)、(19t+3)、(23t+19)、(29t+24)、(31t+5)、(37t+6)、……(A)
同理2n-1形态的合数核为：
(5n+3)、(7n+4)、(11n+6)、(13n+7)、(17n+9)、(19n+10)、(23n+12)、(29n+15)、(31n+16)、(37n+14)……
同理用3N分别与上述每个小括号表达式相等，算出3N中每个合数核的数量N表达式，即N=
(5t+1)、(7t+6)、(11t+2)、(13t+11)、(17t+3)、(19t+16)、(23t+4)、(29t+5)、(31t+26)、(37t+31)……(B)
关于t的取值范围：在例中可以看出，在不同场合，t=0或t≠0。在3n=5d+2时n=(5d+2)/3，只有d=3t+2时才有整数解n=5t+4，我们知道5d+2中d的定义域是不能为零的，所以d=3t+2中t=0，d=2并不为零，所以此时的t可以为0。在3n=5d+3，d=3t才有整数解n=5t+1，此时如果t=0则d=3t=0不符合d的定义域不能为零的规定，所以t≠0。这样就决定了(A)、(B)中只要KX+b中常数项bK/2的可以t=0。
4、剩下的就是简单计算，对于较小的M，几步计算就可完成。例如111，c=(111-1)/2=55，N=c/3=18。5t+4=18，t=2，即t=1，t=2，因为4>5/2所以t=0，得到N=4、9、14。5t+1=18，t=3即t=1，t=2，t=3代入得到N=6、11、16（17/2所以t=0，得到N=6、13。7t+1=18，t=2得到N=8、15（1
后记：1859年黎曼“论小于某数的素数个数”一文发表，这就是著名的π(x)的提出，为了解决此问题推出了Zeta黎曼函数，后来数学家们得出了素数定理：π(x)～x/lnx（x→∞）。1949年数学家塞尔伯格用初等方法证明了素数定理。但至今世上仍没有一个精确求解公式和具体计算途径，可见这个数学问题的复杂性、艰巨性。
今天我提出的这个方法，在计算数值较小的M时，还是十分实用的，但M值很大后，计算的时间十分长、十分繁琐，关键的难点是如何去除重复的合数核。现在我采用的是N值列出后进行分辨。当然在计算机编程如此发达的今天，通过编程还是能解决大M计算难度的，至少有这么一条途径可以精确计算M数以内的孪生素数对数。非专业人士文章，难免差错，请多包涵，也望高手不吝赐教、斧正。