在概率论的研究领域中，不同的随机变量遵循特定的分布规律，这些规律不仅揭示了变量的内在特性，还为未来的趋势预测提供了科学依据。
本文将围绕以下主题展开论述：
· 引言部分
· 高斯/正态分布（Gaussian/Normal Distribution）的深入探讨
· 二项分布(Binomial Distribution)的原理与应用
· 伯努利分布(Bernoulli Distribution)的独特点评
· 对数正态分布(Log Normal Distribution)的数学特性
· 幂律分布(Power Law Distribution)的独特之处
· 分布函数在实践中的应用场景
在概率论的框架下，每一次实验的结果都可以通过随机变量来量化。以投掷六面骰子为例，我们期待的结果是集合{1,2,3,4,5,6}中的任意一个数。因此，我们定义随机变量X，使其在每次投掷时取上述值。
随机变量的取值可以是离散的，也可以是连续的，这取决于实验的性质。投掷骰子的例子中，X是离散型随机变量，因为它只能取有限个整数值。然而，如果我们考虑某城市房屋的价格，相关的随机变量将取连续值，如550000美元、1200523.54美元等。
通过绘制随机变量的期望值与实验出现频率的关系图，我们可以得到频率分布图，通常表现为直方图。利用核密度估计方法对直方图进行平滑处理，可以得到一条光滑的曲线，这条曲线被称为分布函数。
橙色平滑曲线代表概率分布曲线
高斯/正态分布是一种连续型概率分布函数，其特点是随机变量在均值（μ）和方差（σ²）附近呈现对称分布。
高斯分布函数
均值（μ）：决定分布峰值在X轴上的位置。所有数据都对称地分布在X=μ的两侧。如图所示，蓝色、红色和黄色曲线分布在X=0的两侧，而绿色曲线的中心位于X=-2。通过观察这些曲线，我们可以直观地判断，蓝色、红色和黄色的均值是0，而绿色的均值是-2。
方差（σ²）：决定分布曲线的宽度和高度。方差是标准差的平方。图中展示了四条曲线的σ²值。我们可以直观地发现，黄色曲线的高度最低。
当μ=0且σ=1时，这种特殊的正态分布被称为标准正态分布或标准正态变量，其一般表达式为：
标准正态分布函数
分母的作用是确保正态分布曲线下的面积恒等于1。
正态分布提供了许多有用的数据分割信息。以下图为例：
正态分布的值分割图
如图所示，从平均值右移一个标准差，分布包含了34.1%的总质量；从平均值右移两个标准偏差，则为49.8%。由于曲线的对称性，这一规律在两侧都成立。
因此，如果我们知道某数据服从正态分布，例如城镇人口的体重，我们可以轻松地估计出许多值，而无需进行广泛的实际分析。这就是正态分布的强大之处。
二项分布的名称中包含”Bi”，这代表实验的两种可能结果：成功或失败，或者1或0。最简单地说，这是一种描述多次重复实验及其概率的分布，其中预期结果要么是”成功”，要么是”失败”。
二项分布
从图像上可以看出，它是一种离散型概率分布函数。主要参数为n（试验次数）和p（成功概率）。
假设我们有一个事件成功的概率p，那么失败的概率是（1-p），假设你重复实验n次（试验次数=n）。那么在n个独立的伯努利试验中获得k个成功的概率是：
二项分布函数
其中k属于范围[0，n]，并且：
现在我们思考一个简单的问题。假设印度和澳大利亚之间正在进行板球比赛。Rohit Sharma已经得到了151分，根据你的经验，你知道150分之后，Rohit有0.3分的概率达到6分。这是最后一节了，你父亲问你Rohit有多大的机会能打4个全垒打。那你怎么判断呢？
这是一个典型的二项试验的例子。所以，解决办法是：
注：大括号中的6和4是6C4，它是6个球中4个全垒打的可能组合。
在二项分布中，我们有一个特殊的例子叫做伯努利分布，其中n=1，这意味着在这个二项实验中只进行了一次试验。当我们把n=1放入二项PMF（概率质量函数）中时，nCk等于1，函数变成：
伯努利分布PMF
式中，k={0,1}。
现在我们来看看印度队对澳大利亚队的比赛。假设当Rohit达到100分（a ton），那么印度获胜的几率是0.7。所以你可以简单地告诉你父亲印度有70%的机会赢了。
我们已经了解了正态分布的性质，乍一看，许多人会说，对数正态曲线在某种程度上也让我们看到了正态分布是右偏态的。
假设有一个随机变量X服从对数正态分布，均值=μ，方差=σ²。X有总共n个可能值（x1，x2，x3…..xn）。现在取所有X值的自然对数，并创建一个新的随机变量Y=[Log（x1），Log（x2），Log（x3）…Log（xn）]。这个随机变量Y是正态分布的。
换句话说，如果存在正态分布Y，并且我们取它的指数函数X=exp（Y），那么X将遵循对数正态分布。
它还具有与高斯函数相同的参数：均值（μ）和方差（σ²）。
幂律是两个量之间的关系，其中一个量的变化将成比例地改变另一个量。它遵循一个80-20法则：在前20%的值中，我们可以找到大约80%的质量密度。如图所示，稍暗的左侧部分为质量的80%，右侧亮黄色部分为20%。
当概率分布遵循幂律时，我们称之为帕累托分布。帕累托分布由两个参数控制：xm不是平均值，α不是σ。）现在我们可以在图像中看到，所有四条曲线的峰值都位于x=1。所以，我们可以说对于图中的所有曲线，x_m=1。随着α的增加，峰值也会上升，在α趋于无穷大的极端情况下，曲线仅转变为一条垂直线。这叫做Diracδ函数。随着α的减小，曲线变得更加平缓。
帕累托分布PMF
如果我们知道一个特定的数据遵循一定的分布特征，那么我们可以采取部分样本，找到所涉及的参数，然后可以绘制出概率分布函数来解决许多问题。例如：在一个有10万人口的城镇，我们必须做身高分析，但我们不能对这么多人口进行调查。因此，我们选取一个随机样本，求出样本均值和样本标准差。现在假设一位医生或专家告诉我们身高服从正态分布。这样我们就可以轻松地回答许多问题了。
deephub翻译组：Oliver Lee