在高中解析几何中，我们经常遇到关于直线的方程问题。直线方程的一种常见形式为：
Ax + By + C = 0 （式1）
经过整理，我们可以得到更为熟悉的斜截式方程：
y = -A/B x – C/B （式2）
要理解这个方程，我们可以从以下几个关键点开始：
直线的斜率可以通过公式“-A/B”得出。直线在X轴上的截距是“-C/A”，而在Y轴上的截距是“-C/B”。
接下来，我们要探讨两个重要问题：
1. 如何用向量表示这条直线的方向？
2. 如何用向量表示与这条直线垂直的方向？
为了解答这些问题，我们需要知道如何在平面中表达由两点构成的向量的方向。假设在二维的XOY坐标系中，有两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)。从P1指向P2的方向向量，其分量由两点的坐标差决定：
x = x2 – x1
y = y2 – y1
方向向量的分量为（x, y）。这个向量表示了从点A（即P1）到点B（即P2）的方向。根据x和y的符号，我们可以确定方向：
如果x和y都是正数，方向向量指向右上。
如果x为负、y为正，方向向量指向左上。
如果两者都为负，方向向量指向左下。
如果x为正、y为负，方向向量指向右下。
值得注意的是，方向向量的大小并不影响其方向，它只反映两点之间的相对位置。若想得到单位方向向量（即长度为1的向量），只需将方向向量除以其长度。
对于直线方程Ax + By + C = 0，其斜率为-A/B。若P1和P2两点位于直线上，根据方向向量的定义，直线的方向向量m为(-B, A)。这意味着向量m代表直线的方向。与此垂直的直线的法向量N定义为与直线方向向量垂直的向量。设N的分量为(Nx, Ny)，满足条件Nm = 0。通过计算可得Nx = A，Ny = B。法向量N(A, B)确实与直线上所有向量垂直。这是因为任何与直线平行的向量的点积与法向量的结果都为零。总结如下：
一、知道直线的方向向量可以简化后续的计算。我们可以利用直线的方向向量快速确定其方向或其他相关参数。
二、了解直线的法向量有助于解决关于垂直交叉的问题，而无需进行复杂的计算。当我们知道直线的法向量时，可以轻易地判断与该直线垂直的其他直线或平面的方向。三、当两个向量垂直时，它们的点积为零。这一规则在判断直线间的垂直关系时非常实用。
