实对称矩阵能够对角化的原因在于它们具有一些特殊的性质，这些性质使得我们可以找到一组正交的特征向量来表示该矩阵。具体来说，实对称矩阵的特征值都是实数，且其特征向量可以正交。
首先，实对称矩阵的特征值都是实数。这是由于实对称矩阵满足 \( A = A^T \)，对于任意实对称矩阵 \( A \) 和其特征值 \( \lambda \)，我们有 \( Av = \lambda v \)，其中 \( v \) 是对应的特征向量。将此等式两边转置，得到 \( v^T A^T = \lambda v^T \)，由于 \( A = A^T \)，所以 \( v^T A = \lambda v^T \)。两边同时乘以 \( v \)，得到 \( v^T A v = \lambda v^T v \)。由于 \( v^T A v \) 是实数（因为 \( A \) 是实对称矩阵），而 \( v^T v \) 也是实数（因为 \( v \) 是实向量），所以 \( \lambda \) 必须是实数。
其次，实对称矩阵的特征向量可以正交。对于实对称矩阵 \( A \) 的两个不同特征值 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 及其对应的特征向量 \( v_1 \) 和 \( v_2 \)，我们有 \( Av_1 = \lambda_1 v_1 \) 和 \( Av_2 = \lambda_2 v_2 \)。将 \( v_1 \) 和 \( v_2 \) 分别转置并乘以 \( A \)，得到 \( v_1^T A v_2 = \lambda_1 v_1^T v_2 \) 和 \( v_2^T A v_1 = \lambda_2 v_2^T v_1 \)。由于 \( A \) 是对称矩阵，所以 \( v_1^T A v_2 = v_2^T A v_1 \)，因此 \( \lambda_1 v_1^T v_2 = \lambda_2 v_2^T v_1 \)。由于 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 不同，所以 \( v_1^T v_2 = 0 \)，即 \( v_1 \) 和 \( v_2 \) 正交。
最后，由于实对称矩阵的特征向量可以正交，且特征值的个数等于矩阵的维数，我们可以通过施密特正交化过程将所有特征向量正交化，并构成一组标准正交基。因此，我们可以找到一个正交矩阵 \( P \)，使得 \( P^T A P = D \)，其中 \( D \) 是对角矩阵，其对角线元素为 \( A \) 的特征值。
综上所述，实对称矩阵能够对角化，因为它们的特征值都是实数，且其特征向量可以正交。通过找到一组正交的特征向量，我们可以将实对称矩阵对角化。