掌握特征多项式的求解技巧，可以大大简化线性代数问题的解决过程。首先，要理解特征多项式的定义：对于一个n阶方阵A，其特征多项式是一个关于λ的n次多项式，定义为p(λ) = det(A – λI)，其中I是单位矩阵。求解特征多项式的关键在于熟练运用行列式的计算方法。
一个实用的技巧是利用矩阵的迹来简化计算。矩阵的迹是指主对角线元素的和，即tr(A) = a11 + a22 + … + aan。根据线性代数的性质，矩阵A的特征值之和等于其迹，即λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)。这个性质在特征多项式系数的确定中非常有用，尤其是当矩阵较大时，可以节省大量计算时间。
另一个小技巧是注意矩阵的特殊结构。例如，对于对角矩阵或上/下三角矩阵，其特征多项式可以直接写出，因为对角线上的元素就是其特征值。对于可对角化的矩阵，找到其特征向量并构造对角化矩阵，也能简化特征多项式的求解过程。
最后，不要忘记利用对称性和反对称性。实对称矩阵的特征值都是实数，而实反对称矩阵的特征值只能是0或纯虚数。这些性质在判断特征值性质时非常有帮助。
总之，通过理解特征多项式的定义，利用矩阵的迹、特殊结构和对称性等性质，可以高效地求解小规模矩阵的特征多项式，为更复杂的线性代数问题打下坚实基础。