在数学中，有界性和收敛性是两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系，但并不完全等同。
一个数列或函数如果有界，意味着它的值域被限制在一个固定的范围内，即存在两个实数，一个常数M，使得所有项的绝对值都不超过M。换句话说，有界性描述的是数列或函数值的“范围”或“大小”的限制。
而收敛性则描述的是数列或函数值随着自变量的变化，“趋向”于某个特定值的性质。如果数列或函数的极限存在且为有限值L，那么我们称它是收敛的，并且其极限为L。
有界性和收敛性之间的关系可以通过以下定理来描述：如果一个数列是有界的并且单调的，那么它是收敛的。然而，有界并不意味着收敛。例如，数列-1, 1, -1, 1, … 是有界的，但它并不收敛，因为它在两个值之间来回振荡。
另一方面，收敛的数列或函数必然是有界的。这是因为如果数列或函数收敛于某个值L，那么从某个点开始，所有的项都必须非常接近L，这意味着它们不可能无限地远离某个固定的范围，因此必然是有界的。
总之，有界性和收敛性是数学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系，但并不完全等同。有界是收敛的必要条件，但不是充分条件。在实际应用中，我们需要根据具体情况来判断数列或函数的有界性和收敛性。