计算立方和的公式 \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3\) 有多种推导方法，并不局限于从1开始的累加。以下是一种基于数学归纳法和等差数列求和的推导方式。
首先，我们假设存在一个公式 \( S(n) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \)，并希望证明这个和可以表示为 \( S(n) = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \)。
我们可以通过数学归纳法来证明这个公式。首先，当 \( n = 1 \) 时，显然 \( S(1) = 1^3 = 1 \)，而公式右侧 \( \left( \frac{1(1+1)}{2} \right)^2 = 1 \)，两边相等，所以基础情况成立。
接下来，假设当 \( n = k \) 时，公式成立，即 \( S(k) = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 \)。我们需要证明当 \( n = k+1 \) 时，公式依然成立。
考虑 \( S(k+1) \)：
\[
S(k+1) = S(k) + (k+1)^3
\]
根据归纳假设， \( S(k) = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 \)，所以：
\[
S(k+1) = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3
\]
我们将右侧表达式进行简化：
\[
S(k+1) = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^2 \cdot (k+1)
\]
提取公因式 \( (k+1)^2 \)：
\[
S(k+1) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right) = (k+1)^2 \left( \frac{(k+2)^2}{4} \right) = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2
\]
这正是我们需要的公式形式。因此，通过数学归纳法，我们证明了对于任意正整数 \( n \)，立方和公式 \( S(n) = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \) 成立。
此外，我们还可以通过等差数列的性质和对称性来推导这个公式。考虑两个立方和的差：
\[
(n+1)^3 – n^3 = 3n^2 + 3n + 1
\]
将这个差值从1到n进行累加，可以发现很多项会相互抵消，最终得到：
\[
(n+1)^3 – 1^3 = 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3 \sum_{k=1}^n k + n
\]
通过已知的等差数列求和公式 \( \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \) 和 \( \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)，可以进一步推导出立方和公式。这些方法都展示了立方和公式推导的多样性，不局限于从1开始的直接累加。