探索1978年高考数学真题的奥秘
大家好！今天我要与大家分享一道颇具挑战性的数学题目，这是1978年高考数学试卷副题中的第六题。该题目围绕着三角恒等变换的知识点展开，一度令众多学生陷入困惑，几乎全员陷入了无从下手的困境。
为何此题会显得如此困难呢？根据学生们的反馈，主要是因为题目中涉及到的字母繁多，使得他们难以确定应该如何着手解题。那么，让我们先来仔细剖析一下题干中的两个关系式以及需要证明的结论。
在对比观察后，我们可以发现，要证明的结论中已经没有了三角函数的存在，这提示我们需要利用已知的两个关系式来消除其中的三角函数。具体应该如何操作呢？下面我将介绍两种不同的解法供大家参考。
解法一：运用齐次化技巧
从给定的asinx+bcosx=0出发，我们能够推导出tanx=-b/a。接着，我们需要求出sin2x和cos2x的表达式，并将其代入到第二个关系式中。关于如何求得sin2x和cos2x的值，这里我们可以借助齐次化的方法来进行求解。
利用二倍角公式，我们可以知道sin2x=2sinxcosx。将此视为一个整体“1”的分数形式，再结合同角三角函数的平方关系进行变换，最后通过分子分母同时除以(cosx)^2的操作，即可得到sin2x的具体表达式。
类似地，我们也能推导出cos2x的表达式。将sin2x和cos2x的表达式代入到第二个关系式中，消去分母后，我们便能得出结论。
解法二：借助辅助角公式
观察第一个关系式，我们发现等式左边呈现出“同角异名”的形式。在这种情况下，我们可以利用辅助角公式来进行变换。通过辅助角公式的应用，我们能够将这两个异名的函数转化为同名的函数，从而简化后续的处理过程。
根据asinx+bcosx=0以及辅助角公式，我们可以推导出：√(a^2+b^2)sin(x+φ)=0。其中，sinφ和cosφ的值分别由a和b决定。进一步推导后，我们能够得出sin2x和cos2x的表达式。将这些表达式代入到第二个关系式中，即可证明出结论。