三角形的构造与高线的分布，蕴丰富的几何知识。锐角三角形的高均位于其内部；对于直角三角形，两条高直角边，而斜边的高则穿越三角形内部；钝角三角形的两条高则处于外部，一条位于内部。这其中蕴怎样的数学逻辑呢？
图1
当一条边与其相邻边所构成的夹角均为锐角时，该边的高便藏于三角形之内；而当任意一个角不是锐角时，与之相邻的边的高则位于三角形之外。
提及三角形的高线，你应立即联想到：⑴利用等面积关系推导线段之间的联系；⑵运用两角互余的原理，来探索角的关系；⑶基于与高相关的定理，拓展更多的线段关系。
图2
直角三角形中斜边上的高，与三角形的三边关系颇具研究价值。如AB乘以AC等于AD乘以BC，这表达了两个直角边的乘积与斜边和斜边上高的乘积相等。射影定理也揭示了相似三角形对应边的比例关系。
在三角形中，若出现垂线（如图2右所示），则该垂线将三角形划分为两个含高线的小三角形。若AB等于AC，那么可以通过等面积法求得DE加DF的长度。故在等腰三角形的底取一点，向两腰作垂线，此时应考虑使用等面积法来求解线段的和。
对于任意三角形，当需要求解高线长度时，通常运用勾股定理来解决。（垂线定理正是基于勾股定理推导得出的。）
图3
三角形的垂心之秘：三角形的高必定交于一点，这点即为三角形的垂心。具体而言，锐角三角形的垂心藏于其内部；直角三角形的垂心恰好位于直角顶点；而钝角三角形的垂心则处于外部。
关于三角形垂心的性质：
⑴任意两个顶点和这两顶点高线垂足的四点，共圆（对于直角三角形，由于垂足仅两个点，故三点共圆）。
⑵不论是锐角还是钝角三角形，其顶点与垂心及其他两点的组合，依然保持着垂心的特性（以图3为例证）。
⑶三角形的高线分割出的各小三角形中，存在多对相似三角形（在直角三角形中可见子母形似的相似；在锐角和钝角三角形中，既有子母形相似，也有八字形相似）。
基于这些相似三角形的存在，直角三角形有了射影定理的结论；在锐角和钝角三角形中，也存在着如AH乘以HE等于CH乘以HD等关系。
⑸关于垂心相关的角度：任意两条高线的夹角与三角形的另一个顶点所在的角存在互补或相等的关系。
正三角形内特别定理
现在来讲述一个特别的定理，那就是在正三角形内，任意一点与三角形三边的垂线段之和等于正三角形的高。
简单证明一下：连接AP、BP、CP等线段。由三角形面积的加法原理得知：S△ABP加S△BPC加S△CPA等于S△ABC。这表示出½AB乘以PM加上½BC乘以PQ再加上½AC乘以PN等于½BC乘以h（h为正△ABC的高）。因为△ABC为正三角形，所以AB等于BC等于AC。½BC（PM加PQ加PN）等于½BC乘以h（等量代换）。最终得出PM加PQ加PN等于h。