三角形的奇妙之处，首先体现在它的“心”上：在每个三角形内部，都有几组具有特殊几何意义的线条交汇于同一个点。这些点分别对应了三角形的几种重要“心”——角平分线交点被称为三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；而边的中垂线交点则是三角形的“外心”，即外接圆的圆心；中线的交点是三角形的“重心”，这个点可以通过力学方法推导出，它位于每条中线的三等分点上。这些“心”的存在不仅使三角形充满了神秘感，甚至在后续的讨论中，它们还会以意想不到的方式再次出现在我们面前。
上一篇文章中，我们曾讲过三角形的旁心。如果你有兴趣回顾，可以查看相关内容：[三角形五心之一：旁心及其性质介绍]。
除了角平分线和中垂线，三角形的高也是一个独特的存在——它们同样会交于一点，这个点就是三角形的“垂心”。表面上，垂心看似平凡，但深入探究后，你会发现它带来了许多极具魅力的结论。举个简单而有趣的例子：
定理：设D、E、F分别为△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。
证明：由于∠AFC=∠ADC=90°，因此A、C、D、F四点共圆。于是我们可以得到：∠1 = 180°–∠CDF = ∠A。类似地，由A、B、D、E四点共圆，我们可以得到∠2 = ∠A。∠1 = ∠2。
如果我们将由三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”，那么就有了以下这个非常优美的推论：
推论：三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
证明：由于AD垂直于BC，我们之前已证明∠1 = ∠2，因此∠3 = ∠4，即HD平分∠EDF。类似地，HE、HF也是△DEF的内角平分线，因此H是△DEF的内心。
再来看一个有趣的推论：
推论：将△ABC沿AC翻折到△AB'C，假设EF翻折到了EF'，则EF'与DE共线。
证明：这一点可以直接从前述的∠1 = ∠2推导出来。
接下来，我们转向一个著名的问题——Fagnano问题。1775年，数学家Fagnano提出了这样一个问题：在给定的锐角三角形ABC中，哪一种内接三角形具有最短的周长？Fagnano给出的答案是：最短周长的内接三角形正是垂足三角形。接下来，我们就来证明这一结论。
定理：在△ABC的所有内接三角形中，垂足三角形△DEF的周长是最短的。
证明：设想将三角形翻折多次，得到一条折线段DEF1D2E2F3D4。这个折线段的总长度是内接三角形DEF周长的两倍。由于垂足三角形的特殊性质，折线段恰好形成一条直线。而且，翻折后，BC和B2C2平行且相等，D和D4位于相同位置，因此从D到D4的折线段总长以直线段DD4为最短。这就证明了垂足三角形△DEF具有最短的周长。
垂心的神奇之处并不仅仅如此。四点共圆这一性质还带来了其他一些等角关系。
定理：若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。
证明：因为∠BFH=∠BDH=90°，所以B、F、H、D四点共圆，因此∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2。
这一结论为我们提供了一个非常优美的推论：
推论：将△ABC的垂心H沿BC边翻折到H'，则H'在△ABC的外接圆上。
证明：由于H和H'沿BC对称，因此∠H' = ∠1，而前面已知∠1 = ∠2。由此可得∠H' = ∠2，且∠H'和∠2是AC角的对顶角，它们相等，说明A、C、H'、B四点共圆。
我们还可以进一步得出一个更加酷的结论：
推论：将△ABC的垂心H沿三边翻折到H1、H2、H3，则A、B、C、H1、H2、H3六点共圆。
证明：这一结论直接来自之前的推论。
接下来是一个更加对称且美丽的结论：
推论：若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，H是垂心，则AH·DH = BH·EH = CH·FH。
证明：通过延长HD、HE、HF，并与△ABC的外接圆交于点H1、H2、H3，可以得出HH1 = 2HD，HH2 = 2HE，HH3 = 2HF。结合相交弦定理可得：AH·HH1 = BH·HH2 = CH·HH3。将结果除以2后，我们得到：AH·DH = BH·EH = CH·FH。
现在我们来看看与外接圆相关的定理：
定理：若D、E、F是△ABC三边的高的垂足，H是垂心。过C作BC的垂线，与外接圆交于点G，则CG = AH。
证明：我们将证明四边形AHCG的两组对边平行，从而得出它是平行四边形。由于CG与AD垂直于BC，它们是平行的。由于∠BCG是直角，BG为圆的直径，因此∠BAG也是直角，GA垂直于AB，CF也垂直于AB。AG与CF平行。由此四边形AHCG是平行四边形，得出CG = AH。
这一点还引出了一个更加帅气的推论：
推论：若H是△ABC的垂心，O是△ABC的外心，则O到BC的垂线段OM与AH平行，且长度为AH的一半。
证明：前文已经证明了，CG与AH平行且相等。由于BG为外接圆的直径，BG的中点就是圆心O，垂线段OM是△BCG的中位线，它平行且等于CG的一半，因此也平行且等于AH的一半。
让我们介绍一个初等几何中的瑰宝：
推论：三角形的垂心、重心和外心共线，且重心位于垂心与外心连线的三等分点。
证明：设AM和HO的交点为X。由于AH与OM平行，且长度之比为2:1，所以△AHX与△MOX相似，相似比为2:1。由此可得HX
= 2:1，即X位于HO的三等分点。AX
= 2:1，说明X位于三角形的中线AM的2:1位置，这就说明X是三角形的重心。
每个三角形的垂心、重心和外心三点共线，且重心将垂心和外心的连线分成1:2两段。这一精美的结论是由伟大的数学家欧拉在1765年发现的，也是众多“欧拉定理”中的一项。