现在我们来深入探讨抛物线上经过焦点的直线及其相关特性。假设存在两条直线a和b，它们分别与抛物线相交于点a和点b，其中点a位于x轴的上方，点b位于x轴的下方。我们记直线a和b与x轴的夹角为角c，接下来将证明焦点的悬垂长度。
依据抛物线的几何定义，任意点a到准线的距离等于该点到焦点f的距离。因此，点a到焦点f的距离可以表示为x1加上二分之一p，同理，点b到焦点f的距离等于x2加上二分之一p。由此可见，焦点悬垂长度即点a和点b到焦点f的距离之和，等于x1加上x2再加上一个p。这个结论相对来说是比较直观且容易理解的。
进一步地，我们考虑如何将这一结论用数学公式表达出来。首先，我们需要设定直线a和b的方程。由于这两条直线都经过焦点f，我们可以采用点斜式方程来表示它们。设直线a和b的方程为y等于k1x加二分之一p，其中k1是直线的斜率。同时，抛物线的标准方程为y方等于二分之一px。接下来，我们将这两个方程联立，消去y，从而得到关于x的一元二次方程。
具体来说，将y等于k1x加二分之一p代入y方等于二分之一px中，得到(k1x加二分之一p)方等于二分之一px。展开并整理后，我们得到一个关于x的一元二次方程：k方x方减去k方p加二分之一p乘以一个x再加上四乘之k方p方等于零。
接下来，我们需要求解这个一元二次方程的根，并利用韦达定理来求解x1加上x2和x1乘以x2的值。根据韦达定理，x1加上x2等于方程中一次项系数的相反数除以二次项系数，即二分之一p除以k方；x1乘以x2等于方程中常数项除以二次项系数，即二分之一p方除以四。这样，第一个结论就得到了证明。
为了进一步验证我们的结论，我们继续考虑焦点全长，即x1加上x2再加上一个p。根据前面的推导，我们已经知道x1加上x2等于二分之一p加上二分之一p除以开方。因此，焦点全长可以表示为二分之一p加上一个二分之一p除以开方。我们可以将这个表达式进一步简化，提取出二分之一p作为公因子，得到二分之一p乘以一加开方分之一。然后，我们将减就等于二分之一p乘以一加cosine c大方除以三音 c大方，因为是开方分之一，括号里面进行通分。
接下来，我们将二分之一p乘以个seine set 的平方，这边也是seine set 的平方加上seine set 的平方分之cosine set 方化解最后结果就等于二分之一p除以seine c上的平方。
最后，我们来证明第三个结论，即y一乘以y二等于负p方。根据前面的推导，我们已经知道x1乘以x2等于四分之一p方。因此，我们可以将y一的平方和y二的平方分别表示为二分之一px一和二分之一px2，然后将它们相乘，得到y一的平方乘以y二的平方等于四分之p方乘以x1乘以x2。由于x1乘以x2等于四分之一p方，所以y一的平方乘以y二的平方等于p的四次方。又因为y1和y2符号相反，所以对它们进行开方，得到y1乘以y2等于负的平方。这样，第三个结论也得到了证明。