一、二次根式的乘法运算规则
1. 当两个二次根式进行相乘时，需要将被开方数进行相乘，而根指数保持不变。
2. 运算公式的扩展形式：
题型一：依据积的算术平方根所设定的条件，来确定某个字母的取值范围。
例1. 假如√x×（x-6）=√x×√x-6成立，那么（ ）
A.x≥6 B.0≤x≤6 C.x≥0 D.x为任意实数
二、积的算术平方根的运算性质
1. 两个非负数相乘的算术平方根，等于这两个非负数的算术平方根相乘的结果。
2. 需要注意的细节：
3. 公式的进一步推广：
特别提示：在运用积的算术平方根性质时，所涉及的所有乘积中的因式，无论是数还是代数式，都必须确保这些因式都是非负的。
常见错误点一：在应用二次根式乘法法则时，忽视了法则适用的前提条件，从而造成计算错误。
例2. 计算√（-9）×（-25）。
正确解法：√（-9）×（-25）=√(9×25)=√9×√25=3×5=15。
错误警示：导致错误的原因在于忽视了二次根式乘法法则成立的前提条件。该法则适用的前提是a≥0且b≥0，但在本例中，√（-9）和√（-25）都是没有实际意义的表达式，因此在应用等式时，必须确保所有条件都得到满足。
常见错误点二：在将根号外的因式移至根号内时，忽略了符号的处理，从而引发错误。
例3.
三、二次根式的除法运算规则
1. 当两个二次根式进行相除时，需要将被开方数进行相除，而根指数保持不变。
2. 相关公式：
3. 运算规则的扩展：
四、商的算术平方根
1. 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
2. 数学表达方式：
五、最简二次根式的判定
1. 判定条件：(1) 被开方数中不包含分母；
(2) 被开方数中不包含可以完全开方的因数或因式。
2. 化简的一般步骤：（1）对被开方数中可以完全开方的因数或因式进行开方。
（2）去除根号下的分母：①如果被开方数中含有带分数，应先将带分数转换为假分数；②如果被开方数中含有小数，应先将小数转换为分数。
（3）当被开方数是多项式时，需要先进行因式分解。
例4. 在下列二次根式中，哪一个是最简二次根式？（ ）
A.√8 B. √1/3 C.√2 D.√0.25
六、二次根式的加减运算
1. 在进行二次根式的加减运算时，可以先将各个二次根式转换为最简二次根式，然后再将具有相同被开方数的二次根式进行合并。
2. 一般步骤：(1) 转换为最简二次根式；
(2) 找出被开方数相同的二次根式；
(3) 合并具有相同被开方数的二次根式——将系数相加减后的结果仍然作为系数，而根指数和被开方数保持不变。
3. 识别方法：⑴将二次根式转换为最简二次根式；
⑵观察被开方数，如果被开方数相同，则这些二次根式可以合并。
七、二次根式的混合运算
1. 概念：二次根式的混合运算指的是对二次根式进行加、减、乘、除以及乘方的混合运算。
2. 运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，即先进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算，如果有括号，则先计算括号内的表达式（或者先去除括号）。
学以致用
二次根式与乘法公式的实际应用
例5. 计算:
能力提升
1. 如果√2=a,√3=b,用含有a、b的式子表示,下列表示正确的是 ( )
A.0.1ab² B.0.1a³b C.0.2ab² D.2ab
2. 如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行,爬到表示(√5/5)×(-5)的点处,则该点可能是下列点中的 ( )
A.点E B.点F C.点P D.点Q
3. 星期天,晓琪的妈妈和张琪做了一个小游戏,晓琪的妈妈说:“你现在学习了二次根式,若x表示√10的整数部分,y表示它的小数部分,我这个钱包里的钱(单位:元)是(√10+x)y的整数部分,你猜一下这个钱包里的钱有多少?若猜对了,钱包里的钱就由你支配.”请你帮晓琪获得对这些钱的支配权.
4.
5. 观察下列式子:
A.110 B.164 C.179 D.181
6.
7. 观察下列等式:
按上述规律,回答以下问题:
(1)请写出第n个等式:an= ；
(2)a1+a2+a3+…+an= .
8.
A.24 B.±2√6 C.2√6 D.2√5
9. 是否存在正整数a、b(a<b),使其满足√a+√b=√1404?若存在,试求出a、b的值；若不存在,请说明理由.