平面镶嵌指的是采用相同形状的平面几何图形，以无缝隙且不重叠的方式完全覆盖整个平面的几何构造。在数学领域中，与此相关的镶嵌理论是一个引人入胜的研究方向，通过使用多边形来构建平面镶嵌，可以创造出各种令人赏心悦目的精美图案，给人以美的享受和心灵的愉悦。
从纷繁复杂、变幻莫测的平面镶嵌现象中，我们可以归纳出以下几种主要的镶嵌类型。
1. 相同正多边形的镶嵌
若要使用相同大小的正多边形进行平面镶嵌，这些正多边形必须满足特定的几何条件：在每一个公共顶点处，多个多边形的内角之和必须恰好等于360度。而正n边形的单个内角大小为((n-2)*180°)/n，为了确保共顶点的m个内角之和达到360度，我们需要满足等式m*((n-2)*180°)/n=360，由此可以推导出m=2+n/(n-2) （*）
需要特别注意的是，等式（*）中的m和n必须同时为正整数，并且n的取值不能小于3。通过分析这个不定方程，我们可以发现只有以下三组正整数解：当n=3时，m=6；当n=4时，m=4；当n=6时，m=3。因此，在所有正多边形中，只有正三角形、正方形和正六边形这三种图形能够实现平面镶嵌，如图1所示。
图1
2. 不同正多边形的组合镶嵌
（1）在每种组合镶嵌中，每个顶点都是由相同数量和相同类型的多边形顶点汇聚而成。由于一个正n边形的内角大小为((n-2)*180°)/n=(1/2-1/n)*360°，为了设计出均匀分布的镶嵌图案，我们必须寻找满足特定关系的正整数n、p、q等，使它们满足以下等式
图2
通过这个等式，我们可以得到17组不同的解，对应着17种不同的镶嵌图案。然而，其中只有11种能够真正实现平面镶嵌，这11种图案中包括了前面提到的正三角形、正方形和正六边形这三种基本图形。其余的8种图案如图3所示。
图3
（2）我们也可以不要求每个顶点都是由相同数量和相同类型的多边形顶点构成。如果放宽这一限制，我们将会得到更加丰富多样、绚丽多彩的镶嵌图案（如图4）。
图4
3. 一般凸多边形的平面镶嵌
对于非正多边形的平面镶嵌，近年来研究发现了以下有趣的现象：
（1）所有类型的三角形都能够进行平面镶嵌（如图5）。
（2）任何凸四边形都可以用来实现平面镶嵌（如图6）。
图5
图6
（3）对于凸五边形，只有特定的凸五边形才能够进行平面镶嵌（如图7、图8），尤其是图8展示了一种非常规的凸五边形平面镶嵌方式。
图7
图8
（4）对于凸六边形，也只有特定的凸六边形（即三组对边平行）可以用于平面镶嵌（如图9、图10），特别是图10能够创造出“花瓣形”的镶嵌图案。
图9
图10
4. 凹多边形的平面镶嵌
在前面的讨论中，我们主要考虑了凸多边形的平面镶嵌。如果取消凸多边形的限制条件，凹多边形同样可以创造出各种令人愉悦的镶嵌图案。图11展示了四种常见的简单凹多边形镶嵌图案。
图11
5. 重复花样图形的镶嵌
这种镶嵌方式是指使用多个相同的图形拼接出一个与原图形相似但规模更大的图形。我们将具有这种特性的图形称为“重复花样”图形，这类图形包括凸多边形（如图12）和凹多边形（如图13）。
图12
图13
6. 几种令人惊叹的平面镶嵌实例
（1）黑白相间的平面镶嵌图案（如图14）通过黑白两色的完美对称，展现出无与伦比的视觉效果。
图14
（2）变形矩形的平面镶嵌：如果在矩形的一条长边上进行特定的变形，然后将这种变形平移到另一条长边；接着在矩形的短边上进行同样的变形，并平移到对边，最终得到的图形可以用于平面镶嵌，如图16所示，这种图案就像是一群奔跑的羊群。
图15
图16
（3）曲边形的平面镶嵌
如图17所示，这种简单而优雅的花样图案曾经出现在罗马卡拉卡拉浴堂的地面上。平面镶嵌不仅广泛应用于地砖铺设，还在建筑结构设计、经济材料切割、废弃物再利用等多个领域发挥着重要作用。对平面镶嵌理论的研究，将引领我们进入一个充满色彩和美感的艺术世界，只要我们用心探索，也能够设计出独具匠心、简洁大方的镶嵌图案。
图17