数学领域所展现的独特魅力主要源于其内在的和谐性与令人惊叹的奇妙之处，而分形（Fractal）恰好完美地体现了这两种特质。分形这一概念的正式提出，归功于美籍法国数学家伯努瓦·曼德布罗特教授，他在1975年首次阐述了这一理念。由他奠基的分形几何学，如今已成为一个充满活力且备受瞩目的新兴学科。该学科在众多领域，包括数学、地学、哲学、化学、物理学、天文学、生理学、建筑学、情报学、经济学、人口学、材料科学以及计算机科学等方面均取得了令人瞩目的成就，并对科技进步乃至社会的发展产生了深远的影响。
分形的早期理念强调：自然界中的许多事物普遍呈现出一种自相似的层次结构，即局部与整体在形态或结构上具有统计意义上的相似性，这一特性被称为“自相似性”。以一块磁铁为例，其任何一部分都如同整体一样拥有南北两极，若持续分割，每一部分都将保持与整体磁铁相同的磁场特性。这种自相似的层次结构，无论进行适当的放大或缩小，其整体形态均保持不变。具有自相似性的形态在自然界中广泛存在，例如连绵起伏的山脉、形态各异的山川、飘渺的云朵、岩石的断裂面、粒子的布朗运动、繁茂的树冠、精致的叶子、奇特的花菜以及复杂的大脑皮层等。随着时间的推移，分形的概念已经超越了最初仅指代形态或结构上具有自相似性的几何对象这一狭义定义，进一步扩展到了功能、信息、时间、空间等多个维度上均具有自相似性的广义分形。
分形的叶子
分形的花菜
分形几何学作为一门新兴的几何学，其研究对象是不规则的几何形态，但其核心却蕴含着一种全新的世界观和方法论。与传统几何学主要研究整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空不同，分形几何学关注的是分数维数，例如0.54、1.26、2.78等。分数维数能够更精确地反映复杂形体在空间中所占的有效性，是衡量复杂形体不规则性的重要指标。实际上，分形几何更加贴近复杂系统的真实属性和状态描述，更加契合客观事物的多样性和复杂性。
分形几何学自建立以来，迅速吸引了众多学科的广泛关注，这主要得益于它在理论和实践上均具有不可估量的价值。美国著名的物理学家约翰·惠勒教授曾说过：“在未来的科学领域中，若有人不熟悉分形几何，便不能被称为具备科学素养的文化人。”中国杰出的学者周海中教授也曾指出：“分形几何不仅展现了数学的内在之美，更揭示了世界的本质，从而彻底改变了人类理解自然奥秘的方式；可以说，分形几何是真正能够描述大自然的几何学，对其深入研究也极大地拓展了人类的认知边界。”
分形几何不仅对科学领域产生了深远的影响，同时也对文化领域产生了重要的推动作用。在上世纪70年代后期，分形艺术曾风靡一时，尤其是曼德尔布罗特的集合图更是成为了一种文化符号，被大量印制在各种文化衫、棒球帽和帆布包上。英国《自然》杂志曾评选出2009年度最佳图片，由数学“极客”丹尼尔·怀特运用计算机绘制出来的曼德尔布罗特集合三维图就位居第三。此外，分形艺术中那些优美而丰富的图形，还可以应用于各种布局设计中，如舞台设计、园林设计、建筑设计以及器型设计等。可以说，分形几何成功搭建了科学与艺术之间的桥梁。
如今，人们可以通过书籍或网络浏览和欣赏各种风格迥异且既优美又奇妙的分形图片，这类作品通常是通过迭代法并结合计算机技术进行处理而呈现出来的；有的作品是为了在科学研究中更有效地表达研究对象，有的则完全是出于艺术创作的目的。这些优美而奇妙的分形图片，有时能够让人心旷神怡，有时又能够令人眼花缭乱。下面将展示一些运用计算机按照分形算法生成的精美图片，供大家欣赏。
美妙的分形（1）
美妙的分形（2）
美妙的分形（3）
美妙的分形（4）
美妙的分形（5）
美妙的分形（6）
美妙的分形（7）
美妙的分形（8）
美妙的分形（9）
美妙的分形（10）
美妙的分形（11）
美妙的分形（12）
美妙的分形（13）
作者： 美国耶鲁大学访问学者 数学博士徐娜 [责任编辑: 宋金玉]