在数学中，方阵（或称矩阵）的行列式是其特征值的代数余子式构成的行列式的绝对值。如果一个方阵的行列式为零，这意味着它的所有特征值都是零，或者说它没有非零的特征值。
1. 方阵不可逆的定义
不可逆矩阵是指其行列式为零的方阵。如果一个方阵的行列式为零，那么这个方阵被称为不可逆的。不可逆矩阵意味着它不能通过初等行变换（如交换两行、将某行乘以非零常数等）来改变其形状而不改变其大小。换句话说，不可逆矩阵是不可约的，也就是说，它不能被分解为两个可逆矩阵的乘积。
2. 方阵不可逆与“烂摊子”比喻
将方阵的不可逆性比作“烂摊子”，是一种形象的说法，用来描述一个复杂问题或系统无法通过简单的方法来解决或处理。在这个比喻中，“烂摊子”指的是原本整齐有序的事物变得混乱无序，失去了原有的结构和功能。
3. 不可逆方阵的性质
– 线性无关：不可逆方阵的所有特征值都是实数，且这些特征值的和等于0。这意味着方阵的列向量组线性无关，即它们可以表示为一组基向量。
– 秩小于列数：不可逆方阵的秩（最大线性无关组的大小）小于其列数。这是因为不可逆方阵的特征值全为零，而零特征值对应的特征向量是线性无关的，但它们的个数不足以构成一个完整的基。
– 不可约：不可逆方阵是不可约的，因为它的行列式为零，而行列式是判断矩阵是否可约的标准。
4. 不可逆方阵的应用
虽然不可逆方阵在理论上具有一些特殊性质，但在实际应用中，我们通常不会直接遇到不可逆方阵。了解不可逆方阵的性质对于理解线性代数中的其他概念和定理非常重要。例如，不可约矩阵的概念可以帮助我们理解为什么某些线性变换是不可逆的，以及如何通过有限次初等行变换将一个可逆矩阵转换为另一个可逆矩阵。
不可逆方阵确实像是一个“烂摊子”，因为它失去了原有的形状和结构。这种不可逆性并不是一种负面的属性，而是线性代数中的一个基本概念。通过学习和理解不可逆方阵的性质，我们可以更好地掌握线性代数的理论和应用。