利用分数指数幂的规则进行根式计算，我们可以精确地推导出√5的平方根。首先，回顾一下分数指数幂的定义：若a是一个非负实数，m和n是正整数，那么a的m/n次幂表示为a^(m/n)，可以理解为√(a^m)。
现在，我们要计算√5的平方根，即(√5)^(1/2)。根据分数指数幂的规则，这可以写成5^((1/2) (1/2))，即5^(1/4)。
接下来，我们进一步解析5^(1/4)。由于5^(1/4)表示的是5的平方根的平方根，我们可以将其写成(√5)^(1/2)。这意味着我们需要找到5的一个四次方根。
为了找到5的一个四次方根，我们可以使用二分法或牛顿迭代法等数值方法。这里，我们使用牛顿迭代法来近似计算。牛顿迭代法的公式为：
x_{n+1} = x_n – f(x_n) / f'(x_n)
对于函数f(x) = x^4 – 5，其导数为f'(x) = 4x^3。选择一个初始猜测值x_0，例如2，然后迭代计算：
x_1 = x_0 – (x_0^4 – 5) / (4x_0^3)
x_1 = 2 – (16 – 5) / (4 8)
x_1 = 2 – 11 / 32
x_1 ≈ 1.688
继续迭代：
x_2 = x_1 – (x_1^4 – 5) / (4x_1^3)
x_2 ≈ 1.495
重复这个过程，直到达到所需的精度。通过多次迭代，我们可以得到5^(1/4)的近似值。
因此，√5的平方根可以通过分数指数幂的规则精确地表示为5^(1/4)，并通过数值方法近似计算得到。这种方法不仅揭示了根式计算的内在逻辑，还展示了分数指数幂在简化复杂表达式中的强大功能。