关于矩阵的秩，我们先来了解一下它的基本定义和性质。
这些性质主要是定义性质的描述。
接下来，我们来探讨一些需要证明的性质。
很显然的，一个矩阵的秩不可能超过它的行数或列数，这是第一条性质。
矩阵转置后秩不变。这是因为矩阵的行向量组秩和列向量组秩是相等的。以Er的转置为例，它的转置还是Er，而初等变换不会改变矩阵的秩，所以矩阵的行秩等于列秩，转置前后的秩也相等。
再来，根据矩阵相似的定义，我们可以知道：由于P是可逆方阵，可逆方阵可以通过单位矩阵进行初等变换得到。这意味着B可以通过A经过若干次初等变换得到。而初等变换不会改变矩阵的秩，因此相似矩阵的秩是相等的，这是第性质。第四条性质的证明与第类似。
接下来是第五条性质的证明，这里我们将（A,B）视作列向量进行排列。
第六条性质的证明中，我们将（A+B，B）按照列向量排列后，通过列变换，也就是对A+B进行减去B的相应列的操作，可以将其变回（A，B），因此两者是相似的。
至于第七条和第八条性质，它们的证明过程相对简单。在第八条中，我们了解到矩阵A的列数等于变量的个数，而矩阵A的秩可以告诉我们自由变量的个数。在这个例子中，矩阵A的列数等于4，而它的秩等于2，所以自由变量的个数是4-2=2，即x3和x4。解向量组的秩就是2。
在证明上述性质时，我们多次将矩阵视为由列向量构成，并利用相似矩阵的性质进行证明。其中，初等变换不改变矩阵的秩这一性质的应用尤为重要。
