在之前的文章005中，我们给出了一则关于m行n列的列满秩矩阵必定存在n阶非零子式的证明。那个证明可能有些难以理解，今天我们将尝试使用数学归纳法，给出一个更加直观且简洁的证明。
考虑第一步：对于一个m行1列的列满秩矩阵。由于这唯一的一列是线性无关的，因此该列向量是一个非零向量，存在非零分量。由这个非零分量构成的1阶子式就是一个非零子式，所以结论对于这种情况是成立的。
接下来，我们进行归纳假设：假设对于一个m行k列的列满秩矩阵，存在k阶非零子式。
然后，我们考虑一个m行n列的列满秩矩阵A，其列向量满足线性无关。由于线性无关的性质，我们知道从矩阵A中选取的某些列向量也构成线性无关。我们选取这些列向量构成一个较小的矩阵。根据归纳假设，这个小矩阵存在k阶非零子式。假设这个子式与从矩阵A中选取的某些行和列构成的另一个矩阵有关。如果这两个矩阵的某些部分关系不明确，就会产生矛盾。具体来说，如果我们从剩余的m-k行中选取一行，然后与选择的列一起构成一个新的矩阵，如果新矩阵的子式与原始矩阵的子式关系不明确，也会产生矛盾。我们可以得出结论，一个m行n列的列满秩矩阵必定存在n阶非零子式。
当矩阵A的秩等于r时，意味着矩阵A存在一个r阶非零子式。这个r阶非零子式所在的列必然是线性无关的，因此矩阵的列向量的秩一定大于等于矩阵的秩。如果矩阵有r列线性无关，那么这r列中必然存在一个r阶非零子式，这意味着矩阵的秩大于等于其列向量的秩。由此我们可以知道，矩阵的秩等于其列向量组的秩。由于矩阵转置后其秩不变，因此矩阵的秩、其列向量的秩、其行向量的秩三者是相等的。
