三道微积分之微分方程计算实例
主要内容：
1. 不定积分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]的解法探讨
解题步骤：
我们通过待定系数法，结合对数、反正切函数不定积分公式，来求解不定积分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]。
设：(x+3)/[(x-1)(x^2+x+2)]=(mx+n)/(x^2+x+2)-m/(x-1)。
根据系数关系，我们得到两个等式：(-1-1)m+n=1和-2m-1n=3。解此方程组，得到m=-1，n=-1。
原不定积分可转化为：
∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]=∫dx/(x-1)-∫(x+1)dx/(x^2+x+2)。
利用对数函数和反正切函数的不定积分公式，我们可以得到具体解。
2. 二阶常微分方程130y”-277y’=0的通解计算
本文主要通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，来求解二阶常微分方程130y”-277y’=0的通解。
对于分离变量法，由130y”=277y’得到dy/dx=e^(277x/130+C00/130)，再次积分得到通解y的表达式。
对于一阶齐次微分方程求解，利用公式y’=e^(∫dx)(∫0e^(-∫dx)dx+C0)，化简后得到y的表达式。
对于二阶常系数微分方程求解，其特征方程为r(130r-277)=0，解得r的值后，代入通解公式得到y的表达式。
3. 四阶常微分方程4y^(4)+16y^(3)+11y”+16y’+7y=5sin3x的通解探讨
我们先解特征方程，得到四个根r的值。然后根据这些根的值，我们可以得到方程的一个通解。接下来，我们设特解的形式为msin3x+ncos3x，并代入原方程求解出m和n的值，从而得到特解的具体形式。将通解和特解相加，得到方程的通解。
本文主要通过三种不同的方法，探讨了三个微分方程的解法。这些方法包括待定系数法、分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程的通解计算等。希望这些方法能够帮助你更好地理解微分方程的解法。
