二阶非齐次线性微分方程的一般形式为 \( y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) \)，其中 \( f(x) \) 是非齐次项。求解这类方程通常需要找到其通解，通解由对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成。
首先，求解对应的齐次方程 \( y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 \)。这可以通过特征方程法或常数变易法进行。如果 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 是常数，即方程为 \( y” + ay’ + by = f(x) \)，则特征方程为 \( r^2 + ar + b = 0 \)。根据特征根的不同情况（相异实根、重根、复根），可以写出齐次方程的通解。
其次，求解非齐次方程的一个特解。常用的方法有：
1. 待定系数法：适用于 \( f(x) \) 为多项式、指数函数、正弦或余弦函数的情况。假设特解的形式与 \( f(x) \) 相同，但含有待定系数，代入原方程求解这些系数。
2. 变系数法（常数变易法）：适用于 \( f(x) \) 为较复杂函数的情况。假设齐次方程的通解为 \( y_h = c_1y_1 + c_2y_2 \)，则特解形式为 \( y_p = v_1(x)y_1 + v_2(x)y_2 \)，通过解微分方程组确定 \( v_1(x) \) 和 \( v_2(x) \)。
3. 叠加原理：如果 \( f(x) \) 是几个函数之和，可以分别求解每个函数对应的特解，然后相加得到总特解。
最后，将齐次方程的通解与非齐次方程的特解相加，得到非齐次方程的通解。例如，若齐次方程的通解为 \( y_h \)，非齐次方程的特解为 \( y_p \)，则原方程的通解为 \( y = y_h + y_p \)。
通过以上步骤，可以系统地求解二阶非齐次线性微分方程，找到其通解。