我们学习数算的顺序是从加法开始的。我们学习加法运算，然后学习其逆运算——减法运算。接着，我们学习乘法运算及其逆运算——除法运算。我们学习乘方运算及其逆运算——开方运算。我们接触指数运算及其逆运算——对数运算。值得注意的是，虽然逻辑上看似有先有指数后有对数，但在数学史中，对数的出现实际上早于指数。今天，我们就来详细了解一下对数。
对于指数运算，我们可以表示为a^b=N，其中a是底数，a＞0且a≠1；N是幂，N＞0；b是指数。与之相对应的对数运算则可以表示为log(a,N)=b，其中a是底数，N是真数，b是对数。这两者之间的关系可以表示为a^b=N↔log(a,N)=b，同样要求a＞0且a≠1，N＞0。
例如，2的3次方等于8，那么log(2,8)就等于3。根据对数的定义，我们可以得出一些基本的结论：log(a,a)=1，log(a,1)=0，log(a,a^2)=2。还有log(a,1/a)=-1，log(a,√a)=1/2。
还有一些特殊的对数定义，比如底数为10的对数称为常用对数，表示为log(10,N)=lg(N)；底数为自然常数e的对数称为自然对数，表示为log(e,N)=ln(N)。
接下来，我们来复习一下对数的基本运算法则：log(a,MN)=log(a,M)+log(a,N)；log(a,M/N)=log(a,M)-log(a,N)。这些法则的证明可以通过指数运算进行推导。还有一些推论和公式，如log(a^b,M)=(1/b)log(a,M)；log(a^b,M^n)=(n/b)log(a,M)；log(a,a^n)=n；log(a^n,a)=1/n等。
基本公式介绍完毕后，我们来讨论今天的主题：对数恒等式与换底公式。我们来证明对数恒等式：a^[log(a,N)]=N。这个恒等式在对数运算中有着非常重要的应用，可以利用它来表示任何正数x为指数与对数相结合的形式。接下来我们证明换底公式：log(a,N)=log(m,N)/log(m,a)。这个公式最强大的地方在于可以将对数的底数换成任意底数。利用换底公式，我们可以推出一些有用的结论，比如log(a,b)log(b,c)=log(a,c)和log(a,b)log(b,a)=1等。
在计算器尚未普及的时代，人们利用换底公式计算对数值。例如，我们可以通过常用对数表将任何对数转换为以10为底的对数，然后查表得到对数值。我们还可以利用对数表快速比较两个指数的大小。例如，通过比较2^300和3^200的大小，我们可以发现2^300小于3^200。
今天的内容就到这里，希望大家能够自行证明以上公式，加深理解。
