一、坐标系基础与象限分布概述
在平面坐标系中，任意一点的位置都可以通过有序数对 (x,y) 来确定，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。原点O被定在x轴与y轴的交点处，即(0,0)。值得注意的是，在整个坐标系中，单位长度必须保持一致，否则会出现误差。
关于象限的分布和坐标符号规律，我们可以明确：
第一象限：横纵坐标都为正数，例如点A(3,2)。
第二象限：横坐标为负，纵坐标为正，例如点B(-1,4)。
第三象限：横纵坐标都为负数，例如点C(-2,-5)。
第四象限：横坐标为正，纵坐标为负，例如点D(5,-3)。
实战应用：若点P(a,−b)位于第四象限，那么我们可以得知a不等于0且b为正数。
二、坐标变换与对称特性
在坐标系中，点的位置可以通过平移和对称来变换。
关于平移变换，如果一个点(x,y)进行平移，那么新的坐标位置可以表示为(xa, yb)。简单来说，就是“左减右加，下减上加”。例如，点A(2,−1)向右移动3个单位、再向下移动2个单位后，其新坐标变为(5,−3)。
关于对称点的坐标，如果一点关于x轴对称，则其坐标为(x,−y)；关于y轴对称，坐标为(−x,y)；关于原点对称，坐标为(−x,−y)。例如，点B(4,−3)关于y轴对称后的坐标为(−4,−3)。
三、几何核心公式与实践应用
在几何学中，有一些核心的公式对于计算点的位置和关系至关重要。
两点间的距离公式为：AB=√[(x₂−x₁)+(y₂−y₁)]，其中A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)是平面上的任意两点。在特定情况下，如点在水平或竖直线上时，距离公式可以简化为水平的|x₂−x₁|或竖直的|y₂−y₁|。
中点坐标公式是：( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )，其中A和B是任意两点。这个公式常用于求解平行四边形对角线的交点或三角形的重心坐标。
实战演练：已知点A(-1,2)和B(3,6)，求线段AB的垂直平分线方程。解析如下：首先找到中点M(1,4)，然后计算AB的斜率，得到垂直平分线的斜率。最终得出方程y−4=−(x−1)，即x+y=5。
