一、核心判定三则
法则一：定义判定法（距离验证）
原理：直线到圆心的距离等于圆的半径，则直线为切线。
计算公式：直线到圆心距离d=半径r。
计算步骤：
① 计算圆心到直线的距离d，公式为d=|Ax₀+By₀+C|/√(A+B)。
② 对比d与r，如果d=r，则直线为切线。
示例：对于直线3x+4y-25=0和圆x+y=25，经过计算可得d=r，因此该直线是圆的切线。
法则二：定理判定法（垂直半径）
条件：直线经过圆上某一点，并且与连接圆心和该点的半径垂直，则该直线为圆的切线。
几何证明：
① 连接圆心O与交点P；
② 证明OP与直线l垂直。
实例说明：已知圆上点P(3,4)，圆心O(0,0)，直线l的斜率为-3/4。通过计算可知，直线l与半径OP垂直，因此直线l是圆的切线。
法则三：代数判定法（判别式法）
方法：将直线与圆的方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式=0，则直线为切线。
公式链：将直线y=kx+b与圆(x−a)+(y−b)=r联立，消去y得到Ax+Bx+C=0，若=B−4AC=0，则直线为切线。
二、常见模型与动态分析
模型一：双切线问题
特点：从圆外的同一点引出两条切线。
性质：两条切线的长度相等，且夹角为圆心的两倍。
示例：对于点P(5,0)和圆x+y=9，通过计算可得切线长度为4。
模型二：切割线定理
定理：PA=PBPC，其中P是圆外一点，PA是切线，PBC是割线。
应用：根据已知条件PB和PC的长度，可以求出PA的长度。
模型三：动态切线的判定
情况：圆上的一个动点P，使得某条直线始终为切线。
分析：这样的动点轨迹是同心的圆，可以通过建立参数方程来求解。
实例：对于直线y=kx+2始终与⊙M相切的情况，可以通过圆心M到直线距离恒为r来求解。
三、跨题型渗透与命题变形
1. 函数融合题
题型：抛物线切线问题。
方法：求抛物线与圆的公切线，通过联立方程并使得判别式=0来求解。
示例：对于抛物线y=x和圆x+(y-2)=r，通过联立方程并使得=0，可以求得r的值。
2. 坐标系中的最值问题
问题：求点P到圆上动点Q的最小距离。
公式：当P在圆外时，最小距离PQ=√(OP−r)-r。
应用：通过公式可以求出点P到圆上动点Q的最小距离。 跨题型渗透与命题变形之几何综合题篇目介绍几何综合题中的三角形内切圆切线性质及运用示例几何综合题解题技巧结合三角形内切圆切线的性质进行解题示例解析几何中的综合题型解题技巧等
