一、在解决初中数学存在性问题时，我们经常运用以下数学思想方法：
1. 函数思想：通过将问题转化为函数关系，探究函数的性质来验证是否存在符合条件的解。
2. 方程思想：通过建立方程或方程组，利用方程的解来判断特定条件下是否存在某种情况。
3. 分类讨论思想：根据不同的情境进行分类，逐一分析每种可能的情况。
二、应用示例
我们定义一种特殊的三角形中的点称为“比例中点”。如果在一个三角形的最大边上的某一点，将该边分为两条线段，且这两条线段长度的乘积等于该点到与之相对的顶点连线的平方，则称这个点为该三角形的“比例中点”。
例如，在钝角三角形ABC中，若点D满足上述条件，则D是ABC的“比例中点”。
接下来，我们通过几个例子来探讨“比例中点”的存在性和性质。
（1）如图2所示，已知点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，∠BAO＝30°，若点M是△AOB的“比例中点”，求点M的坐标。
解：由于点M是△AOB的“比例中点”，我们可以通过设立方程，解出点M的坐标。具体解法如图3所示。
（2）如图4所示，在△ABC中，已知AB的长度和∠A的角度，若点N是△ABC的“比例中点”，求AN的长度。
解：同样地，我们可以通过设立方程来求解AN的长度，具体解法如图5所示。解得AN的可能长度为8或18。
（3）现在来探讨一个更一般的情况：如果△ABC是一个等边三角形，是否存在“比例中点”？
分析：与前两问不同，等边三角形的三边长度相等，任意一条边都可以视为最大边。这时，我们可以采用两种方法来探讨“比例中点”的存在性。
方法1：方程思想
我们可以设立一个一元二次方程，通过判别式的值来判断方程的解是否存在，从而判断是否存在“比例中点”。具体解法如图7所示。通过计算，我们发现方程无解，所以等边三角形没有“比例中点”。
方法2：函数思想
我们可以考虑点N在三角形边上运动时，根据垂线段最短的原则，求出NC平方的最小值，并与“比例中点”定义中的最大值进行比较。如果最大值小于最小值，则说明不存在“比例中点”。具体解法如图8所示。通过比较，我们同样得出结论：等边三角形没有“比例中点”。
方程和函数思想是初中数学中解决存在性问题的有力工具。通过设立方程或函数，我们可以判断实际问题中是否存在符合条件的解。
