这是一道高常考但并非频繁出现的考点。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)的乘积小于零，那么我们可以确定，在区间(a,b)内，函数f(x)至少存在一个零点。
这个理解其实非常直观。我们可以将其比作在一张图上，点A(a,f(a))位于x轴下方，而点B(b,f(b))位于x轴上方。显然，函数的图像必然会穿越x轴，每次穿越时，交点的横坐标就是函数f(x)的零点。
我们可以利用这个定理来判断方程的根是否存在，甚至可以通过强化这个定理来发展出二分法。
在高，这类题目的常见形式可能是：
如果函数f(x)=…存在一个零点x，那么x位于哪个区间？
选项包括A、B、C、D。
解决这类问题的方法并不复杂，但证明这个定理却相当困难。这正是我们所说的好数学：容易理解，但证明起来却颇具挑战性，威力巨大。我非常喜欢这个定理。
从这个定理出发，我们还可以推测出其他相关的性质。
例如：
猜测1：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=A，f(b)=B，那么在A和B之间的任意数值C，方程f(x)=C至少有一个根。
这个猜测可以通过对零点定理的图解进行适当调整得出。
猜测2：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f'(x0)=0。
这个猜测可以通过将零点定理的图解变得更为平滑来得出。
至于猜测3和猜测4，它们涉及到更高级的数学概念，可以通过对前述图解的进一步变形或引入参数方程来得出。
我们不必去证明这些猜测，因为证明过程相当复杂。通过图解的方式，我们可以很容易地猜测出这些性质。实际上，这些猜测就是中学阶段所学的零点定理、介值定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理。能够迅速理解并猜测这些性质，说明你已经具备了成为数学家的潜力。
