掌握了平面的法向量之后，空间向量的“瑞士军刀”就能发挥出更大的威力了！今天我们来学习如何用向量方法精确计算空间中的各种角度和距离，告别繁琐的添加辅助线和解三角形的过程。
知识点一：用向量求异面直线所成的角
通俗解释：之前我们用平移法求异面直线夹角。现在用向量法：找到两条异面直线的方向向量，直接计算这两个方向向量夹角的余弦值。
公式：设异面直线l₁、l₂的方向向量分别为d₁、d₂，它们所成的角为θ（0°
步骤：
建立空间直角坐标系。
确定两条直线l₁、l₂的方向向量d₁、d₂的坐标。
计算点积d₁·d₂。
计算模|d₁|和|d₂|。
代入公式计算cosθ。
如果需要，可以通过arccos求出角度θ。
知识点二：用向量求直线与平面所成的角
通俗解释：直线和它在平面上的射影的夹角θ怎么用向量算？找到直线的方向向量d和平面的法向量n。它们之间的夹角φ和我们所求的线面角θ之间有个关系：它们互余！算出cosφ后，用sinθ=|cosφ|就能得到线面角的正弦值。
公式：设直线l的方向向量为d，平面α的法向量为n，线面角为θ（0°≤θ≤90°），d与n的夹角为φ（0°≤φ≤180°）。则：sinθ=|cosφ|=|d·n|/（|d||n|）。
步骤：建立坐标系，求直线l的方向向量d，求平面α的法向量n，计算点积d·n，计算模|d|和|n|，代入公式计算sinθ。
知识点三：用向量求二面角
通俗解释：怎么用向量计算两个相交平面的二面角θ？只需要找到这两个平面的法向量n₁、n₂。这两个法向量的夹角φ（或其补角）就等于二面角的平面角θ！具体取哪个取决于二面角是锐角还是钝角。
公式：设平面α、β的法向量分别为n₁、n₂，二面角α-l-β的大小为θ（0°≤θ≤180°），法向量夹角为φ（0°≤φ≤180°）。则：cosθ=±cosφ=±(n₁·n₂)/（|n₁||n₂|）。
步骤：建立坐标系，求平面α的法向量n₁，求平面β的法向量n₂，计算点积n₁·n₂，计算模|n₁|和|n₂|，代入公式计算cosφ或cosθ。根据图形判断二面角是锐角还是钝角。
知识点四：用向量求点到平面的距离
通俗解释：怎么用向量计算点P到平面α的距离？在平面α上找一个点A，连接PA得到向量vec{PA}。然后找到平面α的法向量n。点P到平面α的距离，就是vec{PA}在法向量方向上投影的长度的绝对值！
公式：设点P不在平面α内，点A是平面α内任意一点，n是平面α的一个法向量。则点P到平面α的距离d为：d=|vec{PA}·n|/|n|。步骤：建立坐标系，确定点P和平面α内一点A的坐标，计算向量vec{PA}，求平面α的法向量n，计算点积vec{PA}·n，计算模|n|，代入公式计算距离d。 知识点五：空间向量方法总结 核心优势：将空间几何问题转化为代数运算，思路清晰，步骤程序化，避免了作辅助线和复杂推理的困难。基本流程包括建立坐标系、求点坐标、求向量坐标、代数运算和几何解释。关键在于熟练掌握向量的坐标运算、点积运算、法向量的求解以及用向量表示各种几何关系的公式。 练习题： 在一个棱长为1的正方体中（坐标系如上所述），求异面直线AC和D₁B所成角的余弦值；求直线AC₁与平面A₁BD所成角的正弦值；求二面角B-A₁D-C₁的余弦值
