题目：广州市2019年中考数学压轴题——正方形与旋转之美
图示有一个边长为a的正方形ABCD。点E在边AB上移动，但不与端点A和B重合。给定条件∠DAM＝45°，让我们探索并验证下面的几个结论。
解析：
对于这种类型的题目，第①问通常很关键，它为后续问题提供了基础。观察这个图形，我们发现它包含了一个典型的角含半角模型。
①结论：AF等于根号2倍的BE。在正方形中，对角线与边长之间有一定的比例关系。由于∠DAM＝45°，我们可以推断出Rt△FAC与Rt△EBC之间存在相似性。通过连结AC，我们可以证明这两个三角形是相似的。∠FCA=∠ECB。进一步分析，我们可以得出∠ECF=45°，所以选项①是正确的。
②结论：关于△AEG的周长的求解，我们可以通过将图形中的某一部分进行旋转来达到目的。将Rt△GDC逆时针旋转90°，得到Rt△D’CG’，这样我们就可以利用旋转后的图形来求解。然后延长EB至点G’，使得BG’=DG，并连结CG’。通过这样的操作，我们可以证明△GCE≌△G’CE，从而得出EG=EB+GD。进一步计算可以得出△AEG的周长并不等于2a，所以选项②是错误的。
③结论：根据②的结论，我们可以推断出选项③也是错误的。
④结论：为了表示△EAF的面积，我们可以过点E作直线AB的垂线交直线AB于点H。设EB=x，其中0＜x＜a。通过这一设定，我们可以找到△EAF的面积的表达式，因此选项④是正确的。
正确的选项有①和④。
