高观点下的初等数学（5）——二次曲线系的应用
作者：林根数学
今天，我们来探讨一下二次曲线系的一个定理及其应用。
关于二次曲线系，有以下重要定理：
定理：已知两条直线Li≡aix +biy+ci=0(i=1,2)和一条二次曲线f(x,y)=0。那么含有一个参数λ的方程f(x,y)+λL₁L₂=0，表示经过两直线与二次曲线的交点的二次曲线系。
证明过程如下：由于直线Li=0(i=1，2)与二次曲线f(x,y)=0的交点坐标满足上述方程，因此该曲线确实经过这些交点。该方程的次数不超过二次，因此它是一个单参数的二次曲线系。
这个定理在解决高考题或数学竞赛题时非常有用。例如：
题目：已知A、B为椭圆E： x²/a²+y²=1 （a>1）的左右顶点，G为上顶点。P为直线x=6上的动点，PA与椭圆的另一交点为C，PB与椭圆的另一交点为D。求E的方程并证明：直线CD过定点。
详细解答如下：
（1）根据题意，我们可以得到椭圆E的方程。
（2）证明部分：设P(6,y0)，则直线AP的方程为…联立AP的方程与椭圆方程，我们可以得到关于C点的坐标的方程。设CD与x轴的交点为(m,0)，并将坐标系平移，设椭圆E的新方程为…利用二次曲线系的性质，我们可以得到CD过定点(3/2,0)。
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1.《高考数学全观》（上、下）（高考第一轮）教案及学案
2.《高考数学重观》（高考第二轮）教案及学案
3.《清北数学高观》教案及学案
4.《中考数学微观》教案及学案
5.人教版必修1—5教案及学案
练习题：参考1990年全国高中联赛冬令营选拔。在筝形ABCD中，经AC、BD的交点O任作两条直线，分别交于各边于E、F、G、H点，求OI=OJ。
