一、“一线三等角”模型概述
当两个相等的角的一边在同一直线上，另一两边分别位于直线的同侧或异侧，且第三个与这两个角相等的角的顶点位于前一组等角的顶点确定的线段上或其延长线上时，就构成了所谓的“一线三等角”模型。在这样的条件下，可以形成一组相似三角形。
二、“一线三等角”模型分类
根据点P的位置不同，可分为以下两类：
1. 点P在线段AB上，此时形成的相似三角形为△ACP和△BPD。
（1）锐角一线三等角；
（2）直角一线三等角；
（3）钝角一线三等角。
2. 点P在线段AB的延长线上，此时形成的相似三角形同样为△ACP和△BPD。
（1）锐角一线三等角模型；
（2）直角一线三等角模型；
（3）钝角一线三等角模型。
三、“一线三等角”模型常见题型
1. 等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；
2. 等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；
3. 矩形（正方形）中的一线三直角模型；
4. 等边三角形的翻折模型；
5. 坐标系中的一线三直角模型，包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题。
四、典型例题解析
（一）一线三等角模型在等腰三角形中的应用
【例题1】在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点M是边AB的中点，点E、G分别在边AC、BC上，且∠EMG=45°。当AC与MG的延长线相交于点F时：
（1）请找出图中一定相似的三角形并证明；
（2）连接EG，当AE=3时，求EG的长度。
解析：
（1）根据一线三等角模型，可得出△AEM与△BMG相似。由于∠FEM与∠FMA共角共边，所以△FEM与△FMA也相似。
（2）由于M是AB的中点，可形成“中点型一线三等角”，因此△AEM与△BMG与△MEG相似。利用余弦定理可计算出ME的长度，再通过相似三角形的性质求出EG的长度。
（二）一线三等角模型在等腰梯形中的应用
【例题2】在梯形ABCD中，AD∥BC且AD<BC，AD=5，AB=DC=2。点P是AD上的一点，满足∠BPC=∠A。
（1）求证：△ABP与△DPC相似，并求出AP的长度；
（2）当点P在AD边上移动（不与A、D重合），且满足∠BPE=∠A时，PE交直线BC于点E，交直线DC于点Q。求当点Q在线段DC的延长线上时，CQ关于AP的函数关系式，并求出CE=1时AP的长度。
