一道高中数学题解析——求直线斜率
给定一个圆，其圆心为A，半径为3，该圆与x轴和y轴相切，同时与另一个圆心为B、半径为1的圆相外切。已知圆B与x轴也相切。现在的任务是找出两个圆的公切线L在y轴上的截距。
我们画出两个圆的连心线AB，并延长这条线与X轴相交于点T。我们可以通过求解T点的坐标和直线L的斜率来得出直线L的方程，从而进一步求出直线L与y轴的截距。
为了更清晰地分析问题，我们引入辅助线。设BS垂直于AM，BP垂直于AQ，其中M和Q为大圆上的切点，N为小圆与直线L的切点。
根据几何关系，我们可以得出AB的长度为4（即大圆半径加小圆半径）。AP和AS的长度均为2（即大圆的半径减去小圆的半径）。
在直角三角形APB中，已知AB和AP的长度，我们可以轻易地得出∠APB的度数为30°。由几何性质得知∠QTM为60°。由此可知，直线L的斜率k等于tan(60°)，即k=-√3。
接下来求T点的坐标。由于OQ的长度为3，我们可以根据T点和Q点的关系计算出TQ的长度为3√3。OT的长度为OQ加上QT，即OT=3+3√3。由于T点的纵坐标为0，所以T点的坐标为(3+3√3, 0)。
根据上述信息，我们可以得出直线L的方程为：y-0=-√3(x-3-3√3)。为了找到直线L在y轴上的截距，令x=0，可以求得y=9+3√3。
这样我们就得到了公切线L在y轴上的截距。
