在阿基米德的经典著作《关于圆锥体和球体》中，他巧妙地推导出了椭圆的面积计算方法（命题4）。
当我们将一个圆进行垂直方向的缩放时，所形成的图形便是椭圆。椭圆拥有一个长轴和一个短轴，这两轴的长度决定了椭圆的形状。
椭圆面积的公式实际上是对圆面积概念的一种拓展。对于拥有长半轴a和短半轴b的椭圆，其面积的计算方法如下:
虽然我们可以通过直观的方式推导出这个公式，但需要明确的是，阿基米德所采用的方法与严格的数学定理证明之间存在着明显的差异。
接下来，我们来详细探究阿基米德是如何证明这一结果的。
在椭圆周围，存在一个半径为a的圆，这个圆被称作椭圆的辅助圆。如果我们进行垂直方向的缩放操作，这个圆会变成一个椭圆。对于椭圆上的任意一点m，它满足特定的关系式。
阿基米德研究了椭圆与辅助圆内接的多边形。这些多边形的边数都是4的倍数，并且它们的顶点位于水平直径的对端。
内接于圆P'的正多边形与内接于椭圆E的多边形P之间存在一种关系。多边形P的顶点是由P'的顶点到椭圆E的水平轴的垂线与椭圆E的交点组成。这两多边形之间存在一种特定的面积关系。
虽然这些多边形可以有任意多的边，并且可以无限趋近于圆和椭圆，但它们的存在为我们提供了椭圆面积公式的计算基础。
如果我们相信自己的直觉是正确的，那么这个公式就可以被用来计算椭圆的面积。利用mathlet进行缩放，我们可以得到非常接近的近似值，但这些多边形永远无法完全填满整个椭圆或圆。