闻名遐迩的数学家欧几里德，被誉为几何化的先驱。他概括了支配世界的几何规则，基于这些来证明定理，开创了数学史上有据可查的证明之先河。
欧几里得在其著作《几何原本》中系统整理了他的几何学思想。尽管可能是在总结其时代之前的几何知识，但该书至今仍是影响深远的教科书，其逻辑、化的方法和严密的证明是数学的基石。
▲ 欧几里得平面几何的五条公设
欧几里得对现代数学的重要贡献之一是平行公设的讨论。在第一卷中，他列出了五个公设，其中第五条即关于平行公设的描述如下：
- 若两条直线都与第直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边不会相交。
十九世纪，法国数学家阿德里安-马里·勒让德揭示了这一公设与三角形内角和等于两个直角的等价性。
对于平行公设，欧几里得给出了较为复杂的描述。之后的数个世纪里，众多数学家试图从前四条公设推导出第五公设，但均未成功。
以“欧几里得几何”或“平面几何”为名的第五公设成立的几何体系中，三角形内角和总是 180°。
荷兰版画艺术家埃舍尔对几何学有浓厚的兴趣。他的作品中就展现了一幅天使与恶魔组成的平面几何图案。
直至 1829 年，尼古拉·罗巴切夫斯基发现了一种特殊的几何模型，即在第五公设不成立而其余公设依然成立的情况下，存在一种几何体系。这种体系被视为球面几何的范例。
在球面几何中，我们不再将欧几里得的直线视为“直线”，因为球面上两点之间的最短距离是大圆上的一段弧。球体作为曲面存在，使得三角形内角和不再固定为 180°，即使是微小的三角形其内角和也可能大于 180°。
除了球面几何，还有另一种几何模型——双曲几何。在这种模型中，虽然前四条公设成立，但第五公设不成立。在庞加莱半平面模型中，双曲平面被展平成一张欧几里得半平面，导致双曲平面中的直线在模型中呈现出弯曲的形态。
在双曲几何中，三角形的内角和严格小于 180°。
圆也常被用来构建双曲几何模型。其中一种方法是在一个圆上表示双曲平面。这种概念在埃舍尔的作品中也有所体现。
不论是球面还是双曲几何，都是对空间曲率的探讨。在宇宙学领域中，重力是否会引起空间局部弯曲成为人们关注的问题。尤其在近的地区，空间的扭曲极其显著。这意味着用光线画出的三角形未必符合欧几里得三角形的性质。
宇宙的形状究竟如何？近年来的一系列宇宙微波背景辐射测量实验显示，我们很可能生活在一个平坦的宇宙中。