最近有朋友好奇询问，如何计算球体的体积公式？
由于长时间沉浸在信息检索中，加之对睡眠、影视娱乐、网络游戏等一系列新兴爱好的投入，那些曾经熟知的公式早已淡忘。重新拾起笔进行推导演算时，我才惊觉，基础的微积分知识似乎也变得模糊了。
于是，我开始进行相关研究，经过一段时间的探索，不仅成功推导出了球的表面积公式，还计算出了球的体积公式，而这个过程完全无需借助微积分。那么，怎样无需运用微积分就能求解球体呢？
Credit: 3blue1brown
首先，我们放弃微积分这一曲线计算工具，转而采用：部分相似三角形知识，一定的空间想象能力，以及中国古代数学家智慧的象征——祖暅原理。
求解球的表面积！
众所周知，球的表面积公式为 4πr，恰好是同半径圆面积的四倍，这不禁引发思考，为何正好是 4 倍呢？圆形面积与球体面积之间是否隐藏着某种关联？如果沿着这个思路继续探索，可能会感到无从下手，陷入迷茫、无助的状态。
这正是我最初的心路历程，直到我发现了另一个关键点：4πr正好是球外接圆柱的周长乘以高度。
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想象一下，如果将球表面分割成小块，沿水平方向向四周投影，理论上这些投影块可以完全覆盖外部圆柱。因为圆柱的表面积等于圆周长乘以高度：2πr*2r = 4πr，这与球体的表面积完全一致！
就像下图右上角所示，球上的小块在投影到圆柱时会发生形变，它们的宽度可能增加，而高度会相应减小。
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小块可以从水平视角和垂直视角两个方向来观察。那么，我们就来分析一下，在投影过程中，小块究竟经历了怎样的变化。
先看水平视角：
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从中心轴向外投影，敏锐的观察者一定已经注意到，投影距离越远，小块就会变得越宽。
因此，纬度越高的区域，即越靠近上下极点的小块，在投影到圆柱后，宽度增加得更多；而位于赤道的小块与圆柱相切，宽度保持不变。
EF 被拉伸成了 CD
如果你熟悉相似三角形的比例关系，由于 △AEF和△ADC 相似，所以，这个增大的倍数是 r/d，也就是
CD/EF = r/d
对于球上不同的纬度，d 会变化，而球的半径 r 保持不变。越靠近两极，d 越小，r/d 就越大，小块的宽度增加也就越多，这与我们的观察结果一致。
类似地，我们可以看看垂直视角的情况：
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显然，这个方向上的投影会导致小块的高度收缩，即黄色的线段长度会缩短。
由于球的体态圆润，越靠近两极，小块越是接近“平躺”状态，投影后高度收缩得越多；而在赤道上，小块保持直立，投影不改变小块的高度。
JH 投影后收缩成了 EF
显然 ∠α=∠β=∠γ，因此 △HAD，△HIJ 两个三角形是相似三角形，根据比例关系，我们知道：
EF/JH = d/r
也就是说，垂直方向投影会让小块高度收缩，缩小比例是 d/r。
于是出现了神奇的现象，球上的每一个小块经过投影之后形状确实发生了变化，宽度拉长了 r/d 倍，同时高度萎缩了 d/r 倍，而这两个倍数相乘正好等于 1。
这样一来，小块投影前后的面积实际上没有变化！仅仅通过几个三角形，我们就愉快地证明了：计算球的表面积可以用外接圆柱的表面积来替代。
投影变化前后，小块的面积保持不变
那么，球的表面积 S= S= 2πr*2r = 4πr。
祖暅原理
祖暅原理也被称为 Cavalieri’s Principle（卡瓦列里原理），因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等积原理，用于处理复杂的几何问题，但实际上祖暅的发现比他早了1100年。
“幂势既同，则积不容异”这句话就出自于祖暅。如果你对高中数学课本有印象，也许记得这里的“幂”指体积，“势”则为高度。意思是：高度相同的物体，如果每个截面面积也一样，它们的体积就相等。
祖暅原理的提出原本是为了解决计算牟合方盖的体积问题，从而推算球的体积。但现在更常见的用法是下面这样:
图中球的体积等于圆柱去掉两个圆锥的体积，原因就是它们每个剖面的面积都相等。感兴趣的小伙伴可以用半球为例，尝试计算。
利用上图很容易发现，在高度是 h 的地方，球的截面积是：π*（r-h），而圆柱减去圆锥的截面积是：πr（圆柱截面）-πh（圆锥截面），它们正好相等。
于是，求解球的问题就转化为了求解圆柱和圆锥的体积问题。
求解球的体积！
了解了祖暅原理，我们就可以绕过微积分，直接求解球体了！
由祖暅原理，半球的体积经过巧妙的转化，可以用圆柱和圆锥的体积来表示。
众所周知，圆柱的体积是底面积乘以高度，V= πr*r = πr。而圆锥的体积，如果你不知道，查阅资料会发现 V= πr/3，正好是圆柱的三分之一。
也许会好奇，三分之一是怎么来的？既然你诚心诚意的问了，祖暅会大发慈悲的为你解答。
我们还是关注之前的那个圆锥（截面面积是πh），然后把 π 除掉，截面积就变成了 h。那么谁的截面积可以用 h 表示呢？答：边长和高度都是 r 的四棱锥。
a. 除去 π 后，圆锥变成了四棱锥（水平视图）
b. 四棱锥每一个横截面都是边长为 h 的正方形（垂直视图）
这下好了，仅仅是做了个除法，问题似乎已经简单多了！
但你可能还是会问，四棱锥的体积又要怎么计算呢？别着急，我们先仔细观察一下这个四棱锥。它的顶点在中心上方，感觉还是不够直观，怎么能再变换一下形状呢，没错，是时候应用祖暅原理了。
把顶点移到一个角上，新的四棱锥有三条互相垂直的边，并且体积保持不变
到了这里，问题基本上已经解决了。什么，你还没看出来？调动你的空间想象力，调整一下角度，把这样的四棱锥放在正方体里似乎非常合适，你能看出可以同时放进几个吗？
为了让你们相信是 3 个而精心制作的 gif 动图
是 3 个！万事大吉~
正方体的体积显然是 r，这样一来，四棱锥体积就是 r/3。接着，对应圆锥的体积只需要乘上 π，V= r/3*π。最后半球的体积 V= V- V= πr-πr/3 = 2/3 (πr)，所以 V= 4/3 (πr)，是不是和书上写的公式完全一致呢！
成功求解球体！恭喜~
作为一期数学类的深度推送，我想说的是，很多时候只要转换一下思维方式，尝试使用其他工具，就可能开辟出新的道路。
所谓的数学之光，我想也就是在这里。
参考资料
Ⅰ. https://youtu.be/4_BEpekImQg
Ⅱ. https://b23.tv/av33120854
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