曾经拜读过一篇关于傅里叶分析的深度文章，文章中对于傅里叶变换、时域特性、频域特性等概念进行了较为形象的阐述，然而在具体运算层面仍然感到迷茫，同时对一些核心概念如卷积运算、函数的可积性、不可积性等问题理解得不够透彻。由于傅里叶公式本身具有较强的抽象性，因此我开始探索是否能够构建一个模型，借助该模型来更直观地理解或阐释傅里叶公式的工作原理。
参考资料：
傅里叶分析基础教程（完整版）——知乎专栏更新于2014年6月6日
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
首先，让我们回顾一下傅里叶变换的基本概念
以方波信号为例，我们可以近似地认为任何复杂的波形都可以分解为不同频率、不同幅度和不同相位的正弦波的组合。傅里叶变换的核心作用就是将这些不同频率的分量从复杂的波形中分离出来。那么，在实际操作中，我们如何实现这种分离呢？从硬件角度来看，可以使用窄带滤波器进行分离，但这种方式在硬件资源上难以实现，因此更常见的方法是采用数学手段——欧拉滤波器。
欧拉公式
欧拉公式所描绘的螺旋上升曲线，宛如一根弹簧在三维空间中延展，这种神奇的“弹簧”模型可能更接近自然现象的本质，而我们所能观察到的往往只是这个三维模型的某个二维投影。
在这里，我们将借助这个三维欧拉模型来实现在频域中对各个分量的分离，从而实现滤波的效果。
假设我们有一个频率为f0=0.3Hz的正弦波信号，其时域和频域表现形式如下：
图1-1 0.3Hz正弦波在时域和频域的表现
如图所示，将时域信号与欧拉公式相乘并进行积分取模，即可得到频域信号，这一过程也被称为卷积运算。此时，我的脑海中涌现出许多疑问：什么是卷积？为何欧拉公式能够实现滤波？复数的运算方式是怎样的？鉴于自己数学基础的薄弱，这些方程式显得尤为晦涩难懂。因此，我决定换一个角度，尝试将欧拉公式的轨迹描绘出来，通过可视化过程来探寻其内在机理。
一个时域信号与欧拉公式相乘后，其轨迹将呈现何种形态？我们选取欧拉公式中的频率也为f0=0.3Hz，其在复平面上的图形如下：
图1-2 f0=0.3Hz在复平面上的表现
在三维模型中，该轨迹的表现形式如下：
图1-3 三维视图
在三视图（包括主视图、俯视图和侧视图）中，灰色部分代表XY平面（即复平面）。通过观察可以发现，Z轴（时间轴）上的数值对最终结果没有显著影响，因此我们只需关注XY平面上的投影即可。由此可见，二维复平面图足以解释这一现象。
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接下来，我们使用欧拉滤波器进行扫频，观察复平面和三维图中轨迹的变化：
图1-4 对比不同频率在频域中的复平面和三维图表现
通过仔细观察可以发现，所有轨迹在复平面上的投影重合度越高，对应的频域值就越大。例如，当欧拉滤波器取f0=3Hz时，所有轨迹的投影几乎重合于一个圆上；而当偏离f0=3Hz时，投影逐渐散开（类似于弯曲的弹簧）。在f0=0.42Hz处，所有投影呈现对称状态（复平面上既有正值也有负值），此时得到的频域值为零。
再观察最左侧的f0=0.15Hz处，对其进行放大处理如下：
图1-4-1 f=0.15Hz的放大图
在复平面中，该图形呈现对称形态，理论上其频域值应为零，但实际结果并非如此。通过观察三维图可以发现，右侧的两个臂呈现双重结构，因此在二维投影中难以分辨。那么，如何精确计算这些投影的重合度呢？
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由于复平面中包含正值和负值，当我们将所有点相加时，对称部分会相互抵消，从而形成非零结果。这种抵消现象实际上就是卷积运算的核心原理。卷积运算虽然能够实现滤波效果，但其计算速度相对较慢。有没有更高效的方法来识别投影的重合度（对称性）？或者是否存在优于欧拉滤波器的其他滤波方法？
如果信号不是单一频率的波形，上述规律仍然适用，只是投影图形不再是标准的圆形，具体表现如下：
图1-5 两种频率合成波的频域及投影对比
接下来，我们来分析相位的识别方法。通过观察不同初始相位对应的X轴和Y轴投影，我们可以发现以下规律：
图1-6-1 初始相位为0度的投影
图1-6-2 初始相位为45度的投影
图1-6-3 初始相位为90度的投影
通过对比这些投影，我们可以得出结论：初始相位可以通过计算两条正弦波的均值并取反正切来获得。这两条正弦波分别是原波形x1(t)与欧拉公式的实部和虚部相乘的结果（欧拉三角形式为cos(t) – i*sin(t)）。均值的计算可以通过积分方法实现，而最终求取相位的过程同样涉及卷积运算。相关表达式及波形图如下：
图1-7 频率与相位的关系图
（此处存在一个小问题：计算结果与理论值相差90度）
傅里叶级数、傅里叶变换、DFS、DTFT
根据信号的不同类型，傅立叶变换可以分为以下四类：
1) 非周期性连续信号：傅立叶变换(Fourier Transform，FT)
2) 周期性连续信号：傅里叶级数(Fourier Series，FS)
3) 非周期性离散信号：离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform ,DTFT)
4)周期性离散信号：离散傅立叶变换(Discrete Fourier Series，DFS)
前面分析的信号属于周期信号，其时域连续且周期性，对应的频域离散且非周期性，属于傅里叶级数的范畴时域连续周期，频域离散非周期。而对于非周期信号，其时域连续且非周期性，对应的频域连续且非周期性，属于傅里叶变换的范畴时域连续非周期，频域连续非周期。
图2-1 傅里叶级数的示意图
图2-2 傅里叶变换的示意图
从某种角度来看，傅里叶变换可以视为傅里叶级数在单个峰值上的拉伸。虽然拉伸后y轴的数值有所变化，但频域所反映的比重关系似乎影响不大。
前面提到卷积运算的计算速度相对较慢，通过离散化处理可以减少运算次数并提高计算效率。此外，现代计算机本质上都是数字计算机，对于连续的模拟数据只能进行抽样处理。
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拉普拉斯变换
在实际应用中，有时会出现不收敛的波形，这种波形的轨迹示意如下：
图3-1 发散曲线的示意图
从三维模型的角度来看，沿时间轴方向的螺旋半径不断增大，导致积分结果趋于无穷大，即不可积。在这种情况下，我们无法直接使用之前的傅里叶变换方法来鉴别频率成分。为此，拉普拉斯先生提出了改进方案，即在傅里叶公式中引入衰减函数——e-σt，其中σ为正实数。为何选择e指数作为衰减函数？有资料表明，e指数曲线在自然界中具有最快的衰减速度。那么，加入衰减函数后，效果如何呢？
图3-2 收敛曲线的示意图
通过调整系数σ，我们可以控制衰减的程度。虽然衰减函数是加在傅里叶公式上的，但通过公式变换或实际效果来看，其作用等同于直接加在时域波形上。换句话说，先对时域波形进行收敛处理，然后再进行傅里叶变换，这与直接应用拉普拉斯变换的效果相同。
拉普拉斯变换的公式如下：
图3-3 欧拉滤波器与拉普拉斯滤波器的对比