视频正在缓冲加载中…
三角函数作为六类基本初等函数的一种，其自变量通常采用角度（数学上普遍使用弧度制，下文同此规定），而因变量则是角度对应于任意角终边与单位圆交点的坐标或其比值。此外，三角函数也可以通过单位圆相关的各种线段长度来进行等价定义。三角函数在几何学中扮演着重要角色，特别是在研究三角形和圆等图形的性质方面，同时也是分析周期性现象不可或缺的数学工具。在数学分析的范畴内，三角函数还可以被表示为无穷级数或特定微分方程的解，这使得它们的取值范围能够扩展至任意实数，甚至包括复数。
在众多三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见的。而在航海学、测绘学、工程学等其他学科领域，还会运用到余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。这些不同的三角函数之间存在着特定的关系，这些关系可以通过几何直观或计算方法来揭示，通常被称为三角恒等式。
三角函数的主要应用在于计算三角形中未知边长和未知角度，这一特性使其在导航、工程学以及物理学等多个领域具有广泛的应用价值。此外，以三角函数为原型，可以构建一类相似的函数，即双曲函数，常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。三角函数（亦称为圆函数）本质上是角的函数，它们在研究三角形、建模周期现象以及众多其他应用中发挥着关键作用。三角函数通常被定义为直角三角形中包含该角的两个边的比率，也可以等价地定义为单位圆上的各种线段长度。在现代数学中，三角函数被更精确地定义为无穷级数或特定微分方程的解，从而使其取值范围扩展到任意正数和负数值，乃至复数。
阿拉伯数学史
进入15世纪后，阿拉伯数学文化逐渐传入欧洲。随着欧洲商业的繁荣，航行、历法测定和地理测绘等领域对三角学的需求日益增长。在这一背景下，欧洲数学家不仅翻译阿拉伯数学著作，还致力于编制更为详细和精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯编制了间隔10秒（10″）的正弦表，提供了高达9位的精确数值。瑞提克斯还对正弦的定义进行了修正，将原本指代弧对应弦长的概念，改为指代角度对应的弦长。16世纪以后，数学家们开始将古希腊关于球面三角的成果和定理转化为平面三角的定理形式。弗朗索瓦·韦达在这一过程中，将托勒密的许多成果转化为平面三角形式，并尝试推导多倍角正弦的表达式。
18世纪起，随着解析几何等分析学工具的引入，数学家们开始从分析学的角度深入研究三角函数。牛顿在1669年的《分析学》中首次给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的研究成果分享给了詹姆斯·格列高里，后者进一步发展了正切等三角函数的无穷级数表示。莱布尼兹在1673年左右也独立地得出了类似结论。欧拉的《无穷小量分析引论》（1748年）对三角函数的分析学研究做出了开创性的贡献，他不仅将三角函数定义为无穷级数，还提出了著名的欧拉公式，并采用了接近现代的简写形式，如sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.
弦表的起源
根据历史记载，弦表的编制过程应当是从一系列不同的角度出发，通过绘制多个直角三角形并测量AC、A’C’、A’’C’’等弦长来实现。然而，第一张弦表的编制者希腊数学家希帕克（约前180~前125）采用了不同的方法。他选择在同一个固定圆内，计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长度（如图三所示）。这种通过计算而非直接测量弦长来编制弦表的方法，正是希帕克的创新之处。尽管希帕克的原著已经失传，但我们对他在三角学上的成就的了解，主要来自于公元二世纪希腊天文学家托勒密的著作《天文集》。尽管托勒密声称这些成果源自希帕克，但实际上其中许多都是托勒密本人的创造。
根据托勒密的记载，为了测量圆弧与弦长的关系，他们采用了巴比伦人的60进位制。将圆周分为360等份，再将半径分为60等份，并在每一等分中进一步细分为60份，最终形成了托勒密所说的“第一小份”和“第二小份”。这些单位后来被罗马人分别命名为“partes minutae primae”和“partes minutae secundae”，并逐渐演变为现代我们使用的“分”和“秒”，成为角和时间的度量单位的基础。
在建立了半径与圆周的度量单位之后，希帕克和托勒密开始计算一些特殊圆弧所对应的弦长。例如，60°弧（即1/6圆周）所对应的弦长正好等于内接正六边形的边长，而其长度恰好等于半径。因此，60°弧对应的弦值被定义为60个半径单位（其中，半径长的1/60被定义为基本单位）。采用类似的方法，可以计算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值（如图四所示）。有了这些基础数据后，他们利用所谓的“托勒密定理”，推算出两条已知弦长的弧的和与差所对应的弦长，以及通过一条弧的弦长来计算该弧一半所对应的弦长。正是基于这种几何推算方法，他们最终成功编制出了世界上首张弦表。
三角学在中国的传播
三角学传入中国，始于明崇祯四年（1631年）。在这一年，邓玉函、汤若望和徐光启共同编纂了《大测》，并将其作为历书的一部分献给朝廷，这是中国第一部编译的三角学著作。在《大测》中，他们将sine翻译为“正半弦”，并简称为“正弦”，这一命名方式也成为了“正弦”一词的由来。
三角函数是数学中属于初等超越函数的一类函数。它们的本质是任何角度集合与一个比值集合之间的变量映射关系。通常情况下，三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域涵盖整个实数域。此外，三角函数还可以在直角三角形中进行定义，但这种方法并不完全。在现代数学中，三角函数被描述为无穷数列的极限和微分方程的解，从而使其定义扩展到复数系。
尽管三角函数公式繁多且看似复杂，但只要掌握了三角函数的本质及其内部规律，就会发现这些公式之间存在着紧密的联系。而掌握三角函数的本质和内部规律，正是学好三角函数的关键所在。