以下是对2022年淄博中考数学第23题的深度解析，该题目作为一道典型的几何压轴题，全面考察了圆的性质、角平分线定理、切线判定条件以及线段关系证明等核心几何知识。本文将从题目结构、解题思路、难点分析及备考启示等多个维度展开详细阐述：
题目整体布局
本试题采用层层递进的设问方式，围绕圆内接三角形的性质展开，共包含三个核心问题：
1. 线段等量证明：基于△ABC中角平分线AD与圆交于D点的几何背景，要求证明BD与DI（△ABD内心到D点的距离）相等。
2. 切线性质判定：过D点作DE平行于BC，需判定DE是否为圆的切线并给出证明。
3. 线段关系拓展：通过延长BD、AC交圆外于F点，作AD平行线交BC延长线于G点，再作圆的切线GH，最终证明GF与GH的等量关系。
解题方法论
第一部分（证明BD=DI）
– 关键突破点：综合运用角平分线定理与全等三角形判定
1. 角平分线性质应用**：由于I为△ABD的内心，根据内心定义可得AI平分∠BAD，BI平分∠ABD，这是证明的基础。
2. 全等三角形构造：连接AI、BI后，可通过SAS判定△BAI≌△CAI，从而得出IB=IC这一关键等量关系。
3. 等腰三角形判定：结合角平分线性质与外角定理，可推导出∠IBD=∠IDB，最终依据等腰三角形判定定理得到BD=DI。
第二部分（DE切线判定）
– 核心论证路径：验证直线DE满足切线判定定理的必要条件
1. 平行线性质转化：由于DE∥BC，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABC，为后续证明提供角度关系。
2. 垂直关系证明：可通过两种方法证明DE⊥OD——一是利用垂径定理，二是通过计算圆心到直线的距离等于半径。
3. 切线判定定理应用：当验证DE⊥OD且经过半径外端点D时，即可依据切线判定定理确认DE为圆的切线。
第三部分（证明GF=GH）
– 关键解题策略：结合相似三角形与切线长定理
1. 平行线性质应用：由于FG∥AD，根据同位角相等原理可得∠1=∠2，为相似三角形构造奠定基础。
2. 切线长定理应用：GH作为切线，满足GH²=GF·GB的条件，需通过构造相似三角形证明这一关系。
3. 代数等量代换：通过线段比例关系与代数变形，最终推导出GF=GH的结论。
解题难点剖析
1. 辅助线构造技巧
– 第一问中需合理连接内心与顶点构成的线段AI、BI；
– 第二问可能需要添加辅助垂线或利用中点构造等技巧；
– 第三问的关键在于准确构造相似三角形，需注意对应边关系。
2. 几何逻辑链条构建
– 多步骤证明中易出现逻辑跳跃，如第三问需严格遵循”平行线→相似三角形→切线长定理→等量代换”的证明顺序；
– 每一步推导都需有理有据，避免出现”想当然”的证明跳跃。
3. 符号运算规范
– 在代数计算中需严格标注变量关系，避免出现”AB=CD”等不规范表达；
– 关键线段比例关系需明确标注，如DE∶BC=GF∶GB等。
命题设计特点与备考建议
1. 知识整合能力考查
本题将圆的性质、三角形全等、角平分线定理、平行线性质、相似三角形、切线判定等多个知识点有机融合，充分体现了中考压轴题的综合性特点。
2. 能力层级梯度设计
三小问难度呈阶梯式递增：第一问考查基础的全等证明能力，第二问涉及切线判定这一重点知识，第三问则要求综合运用多种几何性质，全面考察学生的几何思维连贯性。
3. 系统化备考策略
– 几何模型积累：重点掌握角平分线模型、切线判定模型等典型几何结构；
– 复杂图形分析训练：通过”先标注已知条件→再寻找隐含关系→最后确定辅助线”的步骤提升空间想象能力；
– 证明书写规范训练：几何证明需做到”每一步都有依据，每一步都合乎逻辑”，避免因跳步而失分。
总结
这道几何压轴题通过圆与三角形的巧妙结合，全面检验了学生的几何推理能力。解题过程中需熟练掌握角平分线性质、全等与相似三角形的判定条件、切线性质等核心知识点，同时注重辅助线的合理构造与逻辑链条的严密性。对于备考学生而言，此类综合性题目是提升几何思维能力的理想训练素材。
＃中考几何压轴题深度解析系列＃