几何直观
1. 定义：
– 当一条直线与坐标轴平行时，这条直线上的任意一点到原点（即y轴）的距离都是常数。
– 设直线的方程为 \( y = mx + b \)，其中 \( m \) 是直线的斜率。
2. 斜率的定义：
– 斜率 \( m \) 是直线意两点间距离变化率的度量。
– 当直线与坐标轴平行时，无论 \( x \) 取何值，\( y \) 的值都保持不变。直线意两点之间的距离 \( d \) 可以表示为：
\[
d = |m| \cdot |x – x_0|
\]
– 由于 \( x_0 \) 是常数，所以 \( |x – x_0| = |x – x_0| \)，因此：
\[
d = |m| \cdot |x – x_0| = |m| \cdot |x – x_0|
\]
– 这表明无论 \( x \) 如何变化，距离 \( d \) 总是等于 \( |m| \cdot |x – x_0| \)。
– 因为 \( x_0 \) 是常数，所以距离 \( d \) 是一个常数。
– 直线意两点之间的实际距离是恒定的，而这个恒定距离是由斜率 \( m \) 决定的。
– 这意味着斜率 \( m \) 必须是非零的，因为只有非零斜率才能产生一个恒定的距离。
代数定义
1. 斜率公式：
– 斜率 \( m \) 可以通过以下公式计算：
\[
m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
\]
– 这里，\( y_1, y_2 \) 是直线上两个不同点的横坐标，\( x_1, x_2 \) 是这两个点的纵坐标。
2. 恒等式：
– 将上述公式代入距离公式中，得到：
\[
d = |m| \cdot |x_2 – x_1|
\]
– 由于 \( x_1, x_2 \) 是常数，所以 \( |x_2 – x_1| = |x_2 – x_1| \)，因此：
\[
d = |m| \cdot |x_2 – x_1|
\]
– 这表明距离 \( d \) 是一个常数，而这个常数是由斜率 \( m \) 决定的。
– 因为 \( x_1, x_2 \) 是常数，所以距离 \( d \) 是一个常数。
– 直线意两点之间的实际距离是恒定的，而这个恒定距离是由斜率 \( m \) 决定的。
– 这意味着斜率 \( m \) 必须是非零的，因为只有非零斜率才能产生一个恒定的距离。
与y轴平行的直线斜率是0而不是1的原因是因为在这种情况下，直线意两点之间的实际距离是一个恒定的常数，而这个常数是由斜率 \( m \) 决定的。只有非零斜率才能产生一个恒定的距离，因此斜率 \( m \) 必须是非零的。