增根，即数学中的“重根”，是指在代数方程现两个或多个相同的解的情况。这种情况在求解线性方程组时尤为常见，因为线性方程组的解空间是无限的，而实际问题通常只关心有限个解。
三种类型的增根
1. 同解性增根：如果一个方程组中存在一组解，使得该组解满足其他方程组的解，那么这组解就是同解性增根。例如，方程组Ax = b和Cx = d有相同的解x，那么Ax = b和Cx = d都有解x。
2. 重根：如果一个方程组中存在一组解，使得该组解同时满足其他方程组的解，那么这组解就是重根。例如，方程组Ax = b和Cx = d有相同的解x，那么Ax = b和Cx = d都有解x。
3. 自相矛盾的增根：如果一个方程组中存在一组解，使得该组解同时满足其他方程组的解，并且这些解之间存在矛盾（即不能同时成立），那么这组解就是自相矛盾的增根。例如，方程组Ax = b和Cx = d有相同的解x，但是x同时满足Ax = b和Cx = d，这就产生了矛盾。
例子
假设我们有两个线性方程组：
1. Ax = b
2. Cx = d
其中，A、B、C是系数矩阵，b、d是常数向量。
如果我们将这两个方程组联立起来，得到：
(Ax) + (Cx) = (b + d)
这意味着x必须同时满足Ax = b和Cx = d。由于A和C是线性无关的，这意味着x不可能同时满足这两个方程。这个方程组有一个同解性增根。
如果我们进一步考虑另一个方程组：
Dx = e
其中，D是系数矩阵，e是常数向量。
如果我们将这个方程组与第一个方程组联立起来，得到：
(Ax) + (Cx) + (Dx) = (b + d) + e
这意味着x必须同时满足Ax = b、Cx = d和Dx = e。由于A、C和D都是线性无关的，这意味着x不可能同时满足这三个方程。这个方程组有一个重根。
如果我们考虑第三个方程组：
Ex = f
其中，E是系数矩阵，f是常数向量。
如果我们将这个方程组与前两个方程组联立起来，得到：
(Ax) + (Cx) + (Dx) + (Ex) = (b + d) + e + f
这意味着x必须同时满足Ax = b、Cx = d、Dx = e和Ex = f。由于A、C、D和E都是线性无关的，这意味着x不可能同时满足这四个方程。这个方程组有一个自相矛盾的增根。